Calcul infinitésimal Exemples

$y' \tan (x) = 2 y - 8$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle.

$\frac{d y}{d x} \tan (x) = 2 y - 8$

Étape 2

Séparez les variables.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $\frac{d y}{d x} \tan (x) = 2 y - 8$ par $\tan (x)$ et simplifiez.

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Étape 2.1.1

Divisez chaque terme dans $\frac{d y}{d x} \tan (x) = 2 y - 8$ par $\tan (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} \tan (x)}{\tan (x)} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{\tan (x)}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $\tan (x)$ .

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Étape 2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x} \tan (x)}{\tan (x)} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{\tan (x)}$

Étape 2.1.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{\tan (x)}$

Étape 2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.1.1

Séparez les fractions.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{1}{\tan (x)}$

Étape 2.1.3.1.2

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 2.1.3.1.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 2.1.3.1.4

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{1} \cot (x)$

Étape 2.1.3.1.5

Divisez $- 8$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} - 8 \cot (x)$

Étape 2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $\frac{2 y}{\tan (x)} - 8 \cot (x)$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $\frac{2 y}{\tan (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 \frac{y}{\tan (x)} - 8 \cot (x)$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 8 \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 \frac{y}{\tan (x)} + 2 (- 4 \cot (x))$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \frac{y}{\tan (x)} + 2 (- 4 \cot (x))$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (\frac{y}{\tan (x)} - 4 \cot (x))$

Étape 2.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1

Séparez les fractions.

$\frac{d y}{d x} = 2 (\frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\tan (x)} - 4 \cot (x))$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{d y}{d x} = 2 (\frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} - 4 \cot (x))$

Étape 2.2.2.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (\frac{y}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 4 \cot (x))$

Étape 2.2.2.4

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (\frac{y}{1} \cot (x) - 4 \cot (x))$

Étape 2.2.2.5

Divisez $y$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (y \cot (x) - 4 \cot (x))$

Étape 2.2.3

Factorisez.

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Étape 2.2.3.1

Factorisez $\cot (x)$ à partir de $y \cot (x) - 4 \cot (x)$ .

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Étape 2.2.3.1.1

Factorisez $\cot (x)$ à partir de $y \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (\cot (x) y - 4 \cot (x))$

Étape 2.2.3.1.2

Factorisez $\cot (x)$ à partir de $- 4 \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (\cot (x) y + \cot (x) \cdot - 4)$

Étape 2.2.3.1.3

Factorisez $\cot (x)$ à partir de $\cot (x) y + \cot (x) \cdot - 4$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (\cot (x) (y - 4))$

Étape 2.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{d y}{d x} = 2 \cot (x) (y - 4)$

Étape 2.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y - 4}$ .

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 4} (2 \cot (x) (y - 4))$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y - 4} (\cot (x) (y - 4))$

Étape 2.4.2

Associez $2$ et $\frac{1}{y - 4}$ .

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 4} (\cot (x) (y - 4))$

Étape 2.4.3

Annulez le facteur commun de $y - 4$ .

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Étape 2.4.3.1

Factorisez $y - 4$ à partir de $\cot (x) (y - 4)$ .

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 4} ((y - 4) \cot (x))$

Étape 2.4.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 4} ((y - 4) \cot (x))$

Étape 2.4.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = 2 \cot (x)$

Étape 2.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y - 4} d y = 2 \cot (x) d x$

Étape 3

Intégrez les deux côtés.

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Étape 3.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y - 4} d y = \int 2 \cot (x) d x$

Étape 3.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Laissez $u = y - 4$ . Puis $d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.2.1.1

Laissez $u = y - 4$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Différenciez $y - 4$ .

$\frac{d}{d y} [y - 4]$

Étape 3.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - 4$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

Étape 3.2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 4]$

Étape 3.2.1.1.4

Comme $- 4$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 3.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int 2 \cot (x) d x$

Étape 3.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 2 \cot (x) d x$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y - 4$ .

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = \int 2 \cot (x) d x$

Étape 3.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = 2 \int \cot (x) d x$

Étape 3.3.2

L’intégrale de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $\ln (| \sin (x) |)$ .

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = 2 (\ln (| \sin (x) |) + C_{2})$

Étape 3.3.3

Simplifiez

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = 2 \ln (| \sin (x) |) + C_{2}$

Étape 3.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y - 4 |) = 2 \ln (| \sin (x) |) + C$

Étape 4

Résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y - 4 |) - 2 \ln (| \sin (x) |) = C$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $\ln (| y - 4 |) - 2 \ln (| \sin (x) |)$ .

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Étape 4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1.1

Simplifiez $- 2 \ln (| \sin (x) |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln (| y - 4 |) - \ln ({| \sin (x) |}^{2}) = C$

Étape 4.2.1.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| \sin (x) |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\ln (| y - 4 |) - \ln (\sin^{2} (x)) = C$

Étape 4.2.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y - 4 |}{\sin^{2} (x)}) = C$

Étape 4.2.1.3

Multipliez par $1$ .

$\ln (\frac{| y - 4 |}{\sin^{2} (x) \cdot 1}) = C$

Étape 4.2.1.4

Séparez les fractions.

$\ln (\frac{| y - 4 |}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)}) = C$

Étape 4.2.1.5

Convertissez de $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ à $\csc^{2} (x)$ .

$\ln (\frac{| y - 4 |}{1} \csc^{2} (x)) = C$

Étape 4.2.1.6

Divisez $| y - 4 |$ par $1$ .

$\ln (| y - 4 | \csc^{2} (x)) = C$

Étape 4.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y - 4 | \csc^{2} (x))} = e^{C}$

Étape 4.4

Réécrivez $\ln (| y - 4 | \csc^{2} (x)) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y - 4 | \csc^{2} (x)$

Étape 4.5

Résolvez $y$ .

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Étape 4.5.1

Réécrivez l’équation comme $| y - 4 | \csc^{2} (x) = e^{C}$ .

$| y - 4 | \csc^{2} (x) = e^{C}$

Étape 4.5.2

Divisez chaque terme dans $| y - 4 | \csc^{2} (x) = e^{C}$ par $\csc^{2} (x)$ et simplifiez.

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Étape 4.5.2.1

Divisez chaque terme dans $| y - 4 | \csc^{2} (x) = e^{C}$ par $\csc^{2} (x)$ .

$\frac{| y - 4 | \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)} = \frac{e^{C}}{\csc^{2} (x)}$

Étape 4.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $\csc^{2} (x)$ .

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Étape 4.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| y - 4 | \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)} = \frac{e^{C}}{\csc^{2} (x)}$

Étape 4.5.2.2.1.2

Divisez $| y - 4 |$ par $1$ .

$| y - 4 | = \frac{e^{C}}{\csc^{2} (x)}$

Étape 4.5.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y - 4 = \pm \frac{e^{C}}{\csc^{2} (x)}$

Étape 4.5.4

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \pm \frac{e^{C}}{\csc^{2} (x)} + 4$

Étape 5

Regroupez les termes constants.

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Étape 5.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm \frac{C}{\csc^{2} (x)} + 4$

Étape 5.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C \frac{1}{\csc^{2} (x)} + 4$