Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d t} + y = t$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (t) d t}$ , où $P (t) = 1$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int d t}$

Étape 1.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{t + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{t}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{t}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $e^{t}$ .

$e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{t} t$

Étape 2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{t} t$ .

$e^{t} \frac{d y}{d t} + y e^{t} = t e^{t}$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d t} [e^{t} y] = t e^{t}$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d t} [e^{t} y] d t = \int t e^{t} d t$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$e^{t} y = \int t e^{t} d t$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = t$ et $d v = e^{t}$ .

$e^{t} y = t e^{t} - \int e^{t} d t$

Étape 6.2

L’intégrale de $e^{t}$ par rapport à $t$ est $e^{t}$ .

$e^{t} y = t e^{t} - (e^{t} + C)$

Étape 6.3

Simplifiez

$e^{t} y = t e^{t} - e^{t} + C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $e^{t} y = t e^{t} - e^{t} + C$ par $e^{t}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $e^{t} y = t e^{t} - e^{t} + C$ par $e^{t}$ .

$\frac{e^{t} y}{e^{t}} = \frac{t e^{t}}{e^{t}} + \frac{- e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{t}$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{t} y}{e^{t}} = \frac{t e^{t}}{e^{t}} + \frac{- e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{t e^{t}}{e^{t}} + \frac{- e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.1.1

Annulez le facteur commun de $e^{t}$ .

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Étape 7.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{t e^{t}}{e^{t}} + \frac{- e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Étape 7.3.1.1.2

Divisez $t$ par $1$ .

$y = t + \frac{- e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Étape 7.3.1.2

Annulez le facteur commun de $e^{t}$ .

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Étape 7.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = t + \frac{- e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Étape 7.3.1.2.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$y = t - 1 + \frac{C}{e^{t}}$