Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d x}{d y} + x = 2 y$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (y) d y}$ , où $P (y) = 1$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int d y}$

Étape 1.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{y + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{y}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{y}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d x}{d y} + e^{y} x = e^{y} (2 y)$

Étape 2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{y} \frac{d x}{d y} + e^{y} x = 2 e^{y} y$

Étape 2.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{y} \frac{d x}{d y} + e^{y} x = 2 e^{y} y$ .

$e^{y} \frac{d x}{d y} + x e^{y} = 2 y e^{y}$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d y} [e^{y} x] = 2 y e^{y}$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d y} [e^{y} x] d y = \int 2 y e^{y} d y$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$e^{y} x = \int 2 y e^{y} d y$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{y} x = 2 \int y e^{y} d y$

Étape 6.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = y$ et $d v = e^{y}$ .

$e^{y} x = 2 (y e^{y} - \int e^{y} d y)$

Étape 6.3

L’intégrale de $e^{y}$ par rapport à $y$ est $e^{y}$ .

$e^{y} x = 2 (y e^{y} - (e^{y} + C))$

Étape 6.4

Simplifiez

$e^{y} x = 2 (y e^{y} - e^{y}) + C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $e^{y} x = 2 (y e^{y} - e^{y}) + C$ par $e^{y}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $e^{y} x = 2 (y e^{y} - e^{y}) + C$ par $e^{y}$ .

$\frac{e^{y} x}{e^{y}} = \frac{2 (y e^{y} - e^{y})}{e^{y}} + \frac{C}{e^{y}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{y}$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{y} x}{e^{y}} = \frac{2 (y e^{y} - e^{y})}{e^{y}} + \frac{C}{e^{y}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2 (y e^{y} - e^{y})}{e^{y}} + \frac{C}{e^{y}}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 (y e^{y} - e^{y}) + C}{e^{y}}$

Étape 7.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{2 (y e^{y}) + 2 (- e^{y}) + C}{e^{y}}$

Étape 7.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x = \frac{2 y e^{y} - 2 e^{y} + C}{e^{y}}$