Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 2) + 4 x (y^{2} + 2 y + 1) = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 2 + 4 x (y^{2} + 2 y + 1) = 0$

Étape 1.1.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \cdot \frac{d y}{d x} + 4 x (y^{2} + 2 y + 1) = 0$

Étape 1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} + 4 x y^{2} + 4 x (2 y) + 4 x \cdot 1 = 0$

Étape 1.1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.1.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} + 4 x y^{2} + 4 \cdot 2 x y + 4 x \cdot 1 = 0$

Étape 1.1.1.4.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} + 4 x y^{2} + 4 \cdot 2 x y + 4 x = 0$

Étape 1.1.1.5

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} + 4 x y^{2} + 8 x y + 4 x = 0$

Étape 1.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d y}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1.2.1

Soustrayez $4 x y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} + 8 x y + 4 x = - 4 x y^{2}$

Étape 1.1.2.2

Soustrayez $8 x y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} + 4 x = - 4 x y^{2} - 8 x y$

Étape 1.1.2.3

Soustrayez $4 x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x} = - 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x$

Étape 1.1.3

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de $\frac{d y}{d x} x^{2} + 2 \frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.3.1

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de $2 \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 2 = - 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x$

Étape 1.1.3.2

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 2$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 2) = - 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x$

Étape 1.1.4

Divisez chaque terme dans $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 2) = - 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x$ par $x^{2} + 2$ et simplifiez.

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Étape 1.1.4.1

Divisez chaque terme dans $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 2) = - 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x$ par $x^{2} + 2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2} = \frac{- 4 x y^{2}}{x^{2} + 2} + \frac{- 8 x y}{x^{2} + 2} + \frac{- 4 x}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 2$ .

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Étape 1.1.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2} = \frac{- 4 x y^{2}}{x^{2} + 2} + \frac{- 8 x y}{x^{2} + 2} + \frac{- 4 x}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.4.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 4 x y^{2}}{x^{2} + 2} + \frac{- 8 x y}{x^{2} + 2} + \frac{- 4 x}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.4.3.1

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1.4.3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.4.3.1.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x y^{2}}{x^{2} + 2} + \frac{- 8 x y}{x^{2} + 2} + \frac{- 4 x}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.4.3.1.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x y^{2}}{x^{2} + 2} - \frac{8 x y}{x^{2} + 2} + \frac{- 4 x}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.4.3.1.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x y^{2}}{x^{2} + 2} - \frac{8 x y}{x^{2} + 2} - \frac{4 x}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.4.3.1.2

Associez en une fraction.

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Étape 1.1.4.3.1.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 4 x y^{2} - 8 x y}{x^{2} + 2} - \frac{4 x}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.4.3.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.4.3.2.1

Factorisez $4 x$ à partir de $- 4 x y^{2} - 8 x y - 4 x$ .

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Étape 1.1.4.3.2.1.1

Factorisez $4 x$ à partir de $- 4 x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2}) - 8 x y - 4 x}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.4.3.2.1.2

Factorisez $4 x$ à partir de $- 8 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2}) + 4 x (- 2 y) - 4 x}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.4.3.2.1.3

Factorisez $4 x$ à partir de $- 4 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2}) + 4 x (- 2 y) + 4 x (- 1)}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.4.3.2.1.4

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (- 1 y^{2}) + 4 x (- 2 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2} - 2 y) + 4 x (- 1)}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.4.3.2.1.5

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (- 1 y^{2} - 2 y) + 4 x (- 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2} - 2 y - 1)}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.4.3.2.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.1.4.3.2.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ et dont la somme est $b = - 2$ .

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Étape 1.1.4.3.2.2.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2} - 2 (y) - 1)}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.4.3.2.2.1.2

Réécrivez $- 2$ comme $- 1$ plus $- 1$

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2} + (- 1 - 1) y - 1)}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.4.3.2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 y^{2} - 1 y - 1 y - 1)}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.4.3.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.1.4.3.2.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x ((- 1 y^{2} - 1 y) - 1 y - 1)}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.4.3.2.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (y (- 1 y - 1) + 1 (- y - 1))}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.4.3.2.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 1 y - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x ((- 1 y - 1) (y + 1))}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.4.3.2.3

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- y - 1) (y + 1)}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.4.3.2.4

Associez les exposants.

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Étape 1.1.4.3.2.4.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- (y) - 1) (y + 1)}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.4.3.2.4.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- (y) - 1 (1)) (y + 1)}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.4.3.2.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y) - 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- (y + 1)) (y + 1)}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.4.3.2.4.4

Réécrivez $- (y + 1)$ comme $- 1 (y + 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x (- 1 (y + 1)) (y + 1)}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.4.3.2.4.5

Élevez $y + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x \cdot - 1 ({(y + 1)}^{1} (y + 1))}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.4.3.2.4.6

Élevez $y + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x \cdot - 1 ({(y + 1)}^{1} {(y + 1)}^{1})}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.4.3.2.4.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x \cdot - 1 {(y + 1)}^{1 + 1}}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.4.3.2.4.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x \cdot - 1 {(y + 1)}^{2}}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.4.3.2.4.9

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 4 x {(y + 1)}^{2}}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x {(y + 1)}^{2}}{x^{2} + 2}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{x^{2} + 2} {(y + 1)}^{2}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{{(y + 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y + 1)}^{2}} (- \frac{4 x}{x^{2} + 2} {(y + 1)}^{2})$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{{(y + 1)}^{2}} (\frac{4 x}{x^{2} + 2} {(y + 1)}^{2})$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun de ${(y + 1)}^{2}$ .

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Étape 1.4.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{{(y + 1)}^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{{(y + 1)}^{2}} (\frac{4 x}{x^{2} + 2} {(y + 1)}^{2})$

Étape 1.4.2.2

Factorisez ${(y + 1)}^{2}$ à partir de $\frac{4 x}{x^{2} + 2} {(y + 1)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{{(y + 1)}^{2}} ({(y + 1)}^{2} \frac{4 x}{x^{2} + 2})$

Étape 1.4.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{{(y + 1)}^{2}} ({(y + 1)}^{2} \frac{4 x}{x^{2} + 2})$

Étape 1.4.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{x^{2} + 2}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} d y = - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{{(y + 1)}^{2}} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u_{1} = y + 1$ . Puis $d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u_{1} = y + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2.1.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

Étape 2.2.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.2.1

Retirez ${u_{1}}^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

Étape 2.2.2.2

Multipliez les exposants dans ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

Étape 2.2.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

Étape 2.2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{1}}^{- 2}$ par rapport à $u_{1}$ est $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$- {u_{1}}^{- 1} + C_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

Étape 2.2.4

Réécrivez $- {u_{1}}^{- 1} + C_{1}$ comme $- \frac{1}{u_{1}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{u_{1}} + C_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

Étape 2.2.5

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y + 1$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - \int \frac{4 x}{x^{2} + 2} d x$

Étape 2.3.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - (4 \int \frac{x}{x^{2} + 2} d x)$

Étape 2.3.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 4 \int \frac{x}{x^{2} + 2} d x$

Étape 2.3.4

Laissez $u_{2} = x^{2} + 2$ . Alors $d u_{2} = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.4.1

Laissez $u_{2} = x^{2} + 2$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.3.4.1.1

Différenciez $x^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Étape 2.3.4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.4.1.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 2.3.4.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 2.3.4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Multipliez $\frac{1}{u_{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Étape 2.3.5.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{2}$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Étape 2.3.7

Simplifiez

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Étape 2.3.7.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 4$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = \frac{- 4}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.7.2

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 2.3.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.7.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.7.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.7.2.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.8

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 2 (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Étape 2.3.9

Simplifiez

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 2 \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Étape 2.3.10

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2} + 2$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = - 2 \ln (| x^{2} + 2 |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \frac{1}{y + 1} = - 2 \ln (| x^{2} + 2 |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Simplifiez $- 2 \ln (| x^{2} + 2 |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$- \frac{1}{y + 1} = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) + C$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y + 1, 1, 1$

Étape 3.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y + 1, 1, 1$

Étape 3.2.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y + 1$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{y + 1} = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) + C$ par $y + 1$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{y + 1} = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) + C$ par $y + 1$ .

$- \frac{1}{y + 1} (y + 1) = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) (y + 1) + C (y + 1)$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $y + 1$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{y + 1}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{y + 1} (y + 1) = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) (y + 1) + C (y + 1)$

Étape 3.3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{y + 1} (y + 1) = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) (y + 1) + C (y + 1)$

Étape 3.3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = - \ln ({| x^{2} + 2 |}^{2}) (y + 1) + C (y + 1)$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1.1

Retirez la valeur absolue dans ${| x^{2} + 2 |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$- 1 = - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) (y + 1) + C (y + 1)$

Étape 3.3.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 = - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) y - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) \cdot 1 + C (y + 1)$

Étape 3.3.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 = - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) y - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C (y + 1)$

Étape 3.3.3.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 = - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) y - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y + C \cdot 1$

Étape 3.3.3.1.5

Multipliez $C$ par $1$ .

$- 1 = - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) y - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y + C$

Étape 3.3.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) y - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y + C$ .

$- 1 = - y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y + C$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’équation comme $- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y + C = - 1$ .

$- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y + C = - 1$

Étape 3.4.2

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) = - C y - C - 1$

Étape 3.4.3

Ajoutez $C y$ aux deux côtés de l’équation.

$- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y = - C - 1$

Étape 3.4.4

Ajoutez $\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ aux deux côtés de l’équation.

$- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$

Étape 3.4.5

Factorisez $y$ à partir de $- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C y$ .

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Étape 3.4.5.1

Factorisez $y$ à partir de $- y \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ .

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})) + C y = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$

Étape 3.4.5.2

Factorisez $y$ à partir de $C y$ .

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})) + y C = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$

Étape 3.4.5.3

Factorisez $y$ à partir de $y (- 1 \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})) + y C$ .

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C) = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$

Étape 3.4.6

Réécrivez $- 1 \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ comme $- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ .

$y (- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C) = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$

Étape 3.4.7

Divisez chaque terme dans $y (- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C) = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ par $- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C$ et simplifiez.

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Étape 3.4.7.1

Divisez chaque terme dans $y (- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C) = - C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ par $- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C$ .

$\frac{y (- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C)}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} = \frac{- C}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

Étape 3.4.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.7.2.1

Annulez le facteur commun de $- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C$ .

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Étape 3.4.7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 3.4.7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- C}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

Étape 3.4.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.7.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{C}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

Étape 3.4.7.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{C}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} - \frac{1}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

Étape 3.4.7.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.4.7.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- C - 1}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C} + \frac{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

Étape 3.4.7.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- C - 1 + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

Étape 3.4.7.3.2.3

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- C - 1 (1) + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

Étape 3.4.7.3.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- C - 1 (1)$ .

$y = \frac{- (C + 1) + \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

Étape 3.4.7.3.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $\ln ({(x^{2} + 2)}^{2})$ .

$y = \frac{- (C + 1) - 1 (- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

Étape 3.4.7.3.2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (C + 1) - 1 (- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))$ .

$y = \frac{- (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

Étape 3.4.7.3.2.7

Réécrivez $- (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))$ comme $- 1 (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))$ .

$y = \frac{- 1 (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$

Étape 3.4.7.3.2.8

Factorisez $- 1$ à partir de $C$ .

$y = \frac{- 1 (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - 1 (- C)}$

Étape 3.4.7.3.2.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - 1 (- C)$ .

$y = \frac{- 1 (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- (\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - C)}$

Étape 3.4.7.3.2.10

Réécrivez $- (\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - C)$ comme $- 1 (\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - C)$ .

$y = \frac{- 1 (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- 1 (\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - C)}$

Étape 3.4.7.3.2.11

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{- 1 (C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2}))}{- 1 (\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - C)}$

Étape 3.4.7.3.2.12

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{C + 1 - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) - C}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{C - \ln ({(x^{2} + 2)}^{2})}{\ln ({(x^{2} + 2)}^{2}) + C}$