Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d t} = - b y (t)$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $M (t) \frac{d y}{d t} + P (t) y = Q (t)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Ajoutez $b y t$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d t} + b y t = 0$

Étape 1.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d y}{d t} + b t y = 0$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (t) d t}$ , où $P (t) = b t$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int b t d t}$

Étape 2.2

Intégrez $b t$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $b$ est constant par rapport à $t$ , placez $b$ en dehors de l’intégrale.

$e^{b \int t d t}$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$e^{b (\frac{1}{2} t^{2} + C)}$

Étape 2.2.3

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1

Réécrivez $b (\frac{1}{2} t^{2} + C)$ comme $b \frac{1}{2} t^{2} + C$ .

$e^{b \frac{1}{2} t^{2} + C}$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.2.1

Associez $b$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{b}{2} t^{2} + C}$

Étape 2.2.3.2.2

Associez $\frac{b}{2}$ et $t^{2}$ .

$e^{\frac{b t^{2}}{2} + C}$

$e^{\frac{1}{2} b t^{2} + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{\frac{1}{2} b t^{2}}$

Étape 2.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $b$ .

$e^{\frac{b}{2} t^{2}}$

Étape 2.5

Associez $\frac{b}{2}$ et $t^{2}$ .

$e^{\frac{b t^{2}}{2}}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{\frac{b t^{2}}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{\frac{b t^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} \frac{d y}{d t} + e^{\frac{b t^{2}}{2}} (b t y) = e^{\frac{b t^{2}}{2}} \cdot 0$

Étape 3.2

Multipliez $e^{\frac{b t^{2}}{2}}$ par $0$ .

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} \frac{d y}{d t} + e^{\frac{b t^{2}}{2}} (b t y) = 0$

Étape 3.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{\frac{b t^{2}}{2}} \frac{d y}{d t} + e^{\frac{b t^{2}}{2}} (b t y) = 0$ .

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} \frac{d y}{d t} + (b t) y e^{\frac{b t^{2}}{2}} = 0$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d t} [e^{\frac{b t^{2}}{2}} y] = 0$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d t} [e^{\frac{b t^{2}}{2}} y] d t = \int 0 d t$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} y = \int 0 d t$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

L’intégrale de $0$ par rapport à $t$ est $0$ .

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} y = 0 + C$

Étape 7.2

Additionnez $0$ et $C$ .

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} y = C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $e^{\frac{b t^{2}}{2}} y = C$ par $e^{\frac{b t^{2}}{2}}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $e^{\frac{b t^{2}}{2}} y = C$ par $e^{\frac{b t^{2}}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{b t^{2}}{2}} y}{e^{\frac{b t^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{\frac{b t^{2}}{2}}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{\frac{b t^{2}}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{\frac{b t^{2}}{2}} y}{e^{\frac{b t^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{\frac{b t^{2}}{2}}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{b t^{2}}{2}}}$