Calcul infinitésimal Exemples

$(x^{3} - y) d x + x d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = x^{3} - y$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3} - y]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Étape 1.2.2

Comme $x^{3}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x^{3}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- y]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 1 \cdot 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 1$

Étape 1.4

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 1$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $1$ .

$- 1 = 1$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$- 1 = 1$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 1$ .

$\frac{- 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $1$ .

$\frac{- 1 - 1}{N}$

Étape 4.3

Remplacez $N$ par $x$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $N$ par $x$ .

$\frac{- 1 - 1}{x}$

Étape 4.3.2

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$\frac{- 2}{x}$

Étape 4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{x}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Étape 5.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Étape 5.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 5.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 5.5

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Étape 5.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.1

Simplifiez $- 2 \ln (| x |)$ en déplaçant $- 2$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Étape 5.6.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Étape 5.6.3

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{- 2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Étape 5.6.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(x^{3} - y) d x + x d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $x^{3} - y$ par $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(x^{3} - y) \frac{1}{x^{2}} d x + x d y = 0$

Étape 6.2

Multipliez $x^{3} - y$ par $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{3} - y}{x^{2}} d x + x d y = 0$

Étape 6.3

Multipliez $x$ par $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{3} - y}{x^{2}} d x + x \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} - y}{x^{2}} d x + x \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Étape 6.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{3} - y}{x^{2}} d x + x \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Étape 6.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{3} - y}{x^{2}} d x + \frac{1}{x} d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{x} d y$

Étape 8

Intégrez $N (x, y) = \frac{1}{x}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = \frac{1}{x} y + C$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{x}$ et $y$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x} + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x} + g (x)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x^{3} - y}{x^{2}}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x} + g (x)] = \frac{x^{3} - y}{x^{2}}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{y}{x} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} - y}{x^{2}}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{y}{x}$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} - y}{x^{2}}$

Étape 11.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} - y}{x^{2}}$

Étape 11.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$y (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} - y}{x^{2}}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$y (- x^{- 2}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} - y}{x^{2}}$

Étape 11.5

Simplifiez

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Étape 11.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} - y}{x^{2}}$

Étape 11.5.2

Associez $y$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} - y}{x^{2}}$

Étape 11.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{x^{3} - y}{x^{2}}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 12.1.1.1

Soustrayez $\frac{x^{3} - y}{x^{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y}{x^{2}} - \frac{x^{3} - y}{x^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y - (x^{3} - y)}{x^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y - x^{3} - - y}{x^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.3.2

Multipliez $- - y$ .

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Étape 12.1.1.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y - x^{3} + 1 y}{x^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.3.2.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y - x^{3} + y}{x^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.4

Associez les termes opposés dans $- y - x^{3} + y$ .

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Étape 12.1.1.4.1

Additionnez $- y$ et $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{3} + 0}{x^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.4.2

Additionnez $- x^{3}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{3}}{x^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.5

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x^{2}$ .

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Étape 12.1.1.5.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- x^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} (- x)}{x^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.1.1.5.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} (- x)}{x^{2} \cdot 1} = 0$

Étape 12.1.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} (- x)}{x^{2} \cdot 1} = 0$

Étape 12.1.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x}{1} = 0$

Étape 12.1.1.5.2.4

Divisez $- x$ par $1$ .

$\frac{d g}{d x} - x = 0$

Étape 12.1.2

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = x$

Étape 13

Déterminez la primitive de $x$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Étape 13.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 14

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = \frac{y}{x} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 15

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x} + \frac{x^{2}}{2} + C$