Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = x e^{2 x}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Factorisez $y$ à partir de $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = x e^{2 x}$

Étape 1.2

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x e^{2 x}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{1}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{\ln (x)}$

Étape 2.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x (x e^{2 x})$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (x e^{2 x})$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (x e^{2 x})$

Étape 3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$x \frac{d y}{d x} + y = x (x e^{2 x})$

Étape 3.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Déplacez $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = x \cdot x e^{2 x}$

Étape 3.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = x^{2} e^{2 x}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [x y] = x^{2} e^{2 x}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x^{2} e^{2 x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$x y = \int x^{2} e^{2 x} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{2}$ et $d v = e^{2 x}$ .

$x y = x^{2} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x$

Étape 7.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$x y = x^{2} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x$

Étape 7.2.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x$

Étape 7.3

Comme $\frac{1}{2} \cdot 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2} \cdot 2$ en dehors de l’intégrale.

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 x} (x) d x)$

Étape 7.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x)$

Étape 7.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x)$

Étape 7.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (1 \int e^{2 x} (x) d x)$

Étape 7.4.3

Multipliez $\int e^{2 x} (x) d x$ par $1$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} (x) d x$

Étape 7.5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{2 x}$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Étape 7.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.6.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Étape 7.6.2

Associez $x$ et $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Étape 7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

Étape 7.7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

Étape 7.8

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.8.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.8.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 7.8.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 7.8.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 7.8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

Étape 7.9

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Étape 7.10

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Étape 7.11

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.11.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Étape 7.11.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Étape 7.12

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Étape 7.13

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.13.1

Réécrivez $\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ comme $\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} - (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$x y = \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} - (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Étape 7.13.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.13.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$x y = \frac{x^{2}}{2} e^{2 x} - (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Étape 7.13.2.2

Associez $\frac{x^{2}}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Étape 7.13.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Étape 7.13.2.4

Associez $\frac{x}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Étape 7.13.2.5

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{4}$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

Étape 7.13.2.6

Pour écrire $- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Étape 7.13.2.7

Associez $- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})$ et $\frac{2}{2}$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Étape 7.13.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Étape 7.13.2.9

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})}{2} + C$

Étape 7.14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

Étape 7.15

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} - 2 \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

Étape 7.15.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.15.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 (- 1) \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

Étape 7.15.2.2

Annulez le facteur commun.

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

Étape 7.15.2.3

Réécrivez l’expression.

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

Étape 7.15.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.15.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{e^{2 x}}{4}$ dans le numérateur.

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - 2 \frac{- e^{2 x}}{4}}{2} + C$

Étape 7.15.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 (- 1) \frac{- e^{2 x}}{4}}{2} + C$

Étape 7.15.3.3

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2}}{2} + C$

Étape 7.15.3.4

Annulez le facteur commun.

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2}}{2} + C$

Étape 7.15.3.5

Réécrivez l’expression.

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - \frac{- e^{2 x}}{2}}{2} + C$

Étape 7.15.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.15.4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} - - \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

Étape 7.15.4.2

Multipliez $- - \frac{e^{2 x}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.15.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} + 1 \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

Étape 7.15.4.2.2

Multipliez $\frac{e^{2 x}}{2}$ par $1$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

Étape 7.15.5

Pour écrire $- x e^{2 x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

Étape 7.15.6

Associez $- x e^{2 x}$ et $\frac{2}{2}$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{- x e^{2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

Étape 7.15.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}}{2}}{2} + C$

Étape 7.15.8

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.15.8.1

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.15.8.1.1

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $- x e^{2 x} \cdot 2$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x}}{2}}{2} + C$

Étape 7.15.8.1.2

Multipliez par $1$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1}{2}}{2} + C$

Étape 7.15.8.1.3

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2 + 1)}{2}}{2} + C$

Étape 7.15.8.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2}}{2} + C$

Étape 7.15.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x) + 1)}{2}}{2} + C$

Étape 7.15.10

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x) - 1 (- 1))}{2}}{2} + C$

Étape 7.15.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - 1 (- 1)$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x - 1))}{2}}{2} + C$

Étape 7.15.12

Réécrivez $- (2 x - 1)$ comme $- 1 (2 x - 1)$ .

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- 1 (2 x - 1))}{2}}{2} + C$

Étape 7.15.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$x y = \frac{x^{2} e^{2 x} - \frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2}}{2} + C$

Étape 7.16

Remettez les termes dans l’ordre.

$x y = \frac{1}{2} (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x - 1)) + C$

Étape 8

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1)) + C$

Étape 8.1.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} \cdot (2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot - 1)) + C$

Étape 8.1.1.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} \cdot (2 e^{2 x} x - 1 \cdot e^{2 x})) + C$

Étape 8.1.1.4

Réécrivez $- 1 e^{2 x}$ comme $- e^{2 x}$ .

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} \cdot (2 e^{2 x} x - e^{2 x})) + C$

Étape 8.1.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} (2 e^{2 x} x) - \frac{1}{2} (- e^{2 x})) + C$

Étape 8.1.1.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{- 1}{2} (2 e^{2 x} x) - \frac{1}{2} (- e^{2 x})) + C$

Étape 8.1.1.6.2

Factorisez $2$ à partir de $2 e^{2 x} x$ .

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{- 1}{2} (2 (e^{2 x} x)) - \frac{1}{2} (- e^{2 x})) + C$

Étape 8.1.1.6.3

Annulez le facteur commun.

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{- 1}{2} (2 (e^{2 x} x)) - \frac{1}{2} (- e^{2 x})) + C$

Étape 8.1.1.6.4

Réécrivez l’expression.

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - 1 (e^{2 x} x) - \frac{1}{2} (- e^{2 x})) + C$

Étape 8.1.1.7

Multipliez $- \frac{1}{2} (- e^{2 x})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - 1 (e^{2 x} x) + 1 (\frac{1}{2}) e^{2 x}) + C$

Étape 8.1.1.7.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - 1 (e^{2 x} x) + \frac{1}{2} e^{2 x}) + C$

Étape 8.1.1.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - 1 (e^{2 x} x) + \frac{e^{2 x}}{2}) + C$

Étape 8.1.1.8

Réécrivez $- 1 (e^{2 x} x)$ comme $- (e^{2 x} x)$ .

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - e^{2 x} x + \frac{e^{2 x}}{2}) + C$

Étape 8.1.1.9

Associez $- e^{2 x} x$ et $\frac{e^{2 x}}{2}$ en utilisant un dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1.9.1

Déplacez $e^{2 x}$ .

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} + \frac{e^{2 x}}{2}) + C$

Étape 8.1.1.9.2

Pour écrire $- x e^{2 x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2}) + C$

Étape 8.1.1.9.3

Associez $- x e^{2 x}$ et $\frac{2}{2}$ .

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{- x e^{2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2}) + C$

Étape 8.1.1.9.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}}{2}) + C$

Étape 8.1.1.10

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1.10.1

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1.10.1.1

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $- x e^{2 x} \cdot 2$ .

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x}}{2}) + C$

Étape 8.1.1.10.1.2

Multipliez par $1$ .

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1}{2}) + C$

Étape 8.1.1.10.1.3

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1$ .

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2 + 1)}{2}) + C$

Étape 8.1.1.10.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2}) + C$

Étape 8.1.2

Pour écrire $x^{2} e^{2 x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2}) + C$

Étape 8.1.3

Associez $x^{2} e^{2 x}$ et $\frac{2}{2}$ .

$x y = \frac{1}{2} \cdot (\frac{x^{2} e^{2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2}) + C$

Étape 8.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x y = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2} + C$

Étape 8.1.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.5.1

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $x^{2} e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x} (- 2 x + 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.5.1.1

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $x^{2} e^{2 x} \cdot 2$ .

$x y = \frac{1}{2} \cdot \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 2) + e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2} + C$

Étape 8.1.5.1.2

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $e^{2 x} (x^{2} \cdot 2) + e^{2 x} (- 2 x + 1)$ .

$x y = \frac{1}{2} \cdot \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 2 - 2 x + 1)}{2} + C$

Étape 8.1.5.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$x y = \frac{1}{2} \cdot \frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{2} + C$

Étape 8.1.6

Associez.

$x y = \frac{1 (e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1))}{2 \cdot 2} + C$

Étape 8.1.7

Multipliez $e^{2 x}$ par $1$ .

$x y = \frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{2 \cdot 2} + C$

Étape 8.1.8

Multipliez $2$ par $2$ .

$x y = \frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4} + C$

Étape 8.2

Divisez chaque terme dans $x y = \frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4} + C$ par $x$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Divisez chaque terme dans $x y = \frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4} + C$ par $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 8.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 8.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4} + C}{x}$

Étape 8.2.3.2

Pour écrire $C$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4} + C \cdot \frac{4}{4}}{x}$

Étape 8.2.3.3

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.3.1

Associez $C$ et $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4} + \frac{C \cdot 4}{4}}{x}$

Étape 8.2.3.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1) + C \cdot 4}{4}}{x}$

Étape 8.2.3.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2}) + e^{2 x} (- 2 x) + e^{2 x} \cdot 1 + C \cdot 4}{4}}{x}$

Étape 8.2.3.4.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.4.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (- 2 x) + e^{2 x} \cdot 1 + C \cdot 4}{4}}{x}$

Étape 8.2.3.4.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x^{2} - 2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot 1 + C \cdot 4}{4}}{x}$

Étape 8.2.3.4.2.3

Multipliez $e^{2 x}$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x^{2} - 2 e^{2 x} x + e^{2 x} + C \cdot 4}{4}}{x}$

Étape 8.2.3.4.3

Déplacez $4$ à gauche de $C$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x^{2} - 2 e^{2 x} x + e^{2 x} + 4 C}{4}}{x}$

Étape 8.2.3.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{2 e^{2 x} x^{2} - 2 e^{2 x} x + e^{2 x} + 4 C}{4}$ .

$y = \frac{\frac{2 x^{2} e^{2 x} - 2 x e^{2 x} + e^{2 x} + 4 C}{4}}{x}$

Étape 8.2.3.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{2 x^{2} e^{2 x} - 2 x e^{2 x} + e^{2 x} + 4 C}{4} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 8.2.3.7

Multipliez $\frac{2 x^{2} e^{2 x} - 2 x e^{2 x} + e^{2 x} + 4 C}{4}$ par $\frac{1}{x}$ .

$y = \frac{2 x^{2} e^{2 x} - 2 x e^{2 x} + e^{2 x} + 4 C}{4 x}$