Calcul infinitésimal Exemples

$4 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $4 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$ par $4 x y$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $4 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$ par $4 x y$ .

$\frac{4 x y \frac{d y}{d x}}{4 x y} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x y \frac{d y}{d x}}{4 x y} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

Étape 1.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

Étape 1.1.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

Étape 1.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

Étape 1.1.2.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

Étape 1.1.2.3.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

Étape 1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.1

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 1.1.3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

Étape 1.1.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.3.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $4 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (4 y)} + \frac{1}{4 x y}$

Étape 1.1.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (4 y)} + \frac{1}{4 x y}$

Étape 1.1.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{4 y} + \frac{1}{4 x y}$

Étape 1.2

Factorisez.

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Étape 1.2.1

Pour écrire $\frac{x}{4 y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{4 y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{4 x y}$

Étape 1.2.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4 y x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.2.2.1

Multipliez $\frac{x}{4 y}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{4 y x} + \frac{1}{4 x y}$

Étape 1.2.2.2

Réorganisez les facteurs de $4 y x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

Étape 1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x + 1}{4 x y}$

Étape 1.2.4

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{4 x y}$

Étape 1.3

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{4 x} \cdot \frac{1}{y}$

Étape 1.4

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{2} + 1}{4 x} \cdot \frac{1}{y})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez $\frac{x^{2} + 1}{4 x}$ par $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 1}{4 x y}$

Étape 1.5.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.5.2.1

Factorisez $y$ à partir de $4 x y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 1}{y (4 x)}$

Étape 1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 1}{y (4 x)}$

Étape 1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{4 x}$

Étape 1.6

Réécrivez l’équation.

$y d y = \frac{x^{2} + 1}{4 x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int \frac{x^{2} + 1}{4 x} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2} + 1}{4 x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Étape 2.3.2

Divisez $x^{2} + 1$ par $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Étape 2.3.2.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x$
	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

Étape 2.3.2.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	+	$0$

Étape 2.3.2.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} + 0$

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$

Étape 2.3.2.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

Étape 2.3.2.6

Extrayez le terme suivant du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	+	$1$

Étape 2.3.2.7

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int x + \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} (\int x d x + \int \frac{1}{x} d x)$

Étape 2.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x)$

Étape 2.3.5

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{4} (\frac{x^{2}}{2} + \ln (| x |)) + C)$

Étape 3.2.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{4} \ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.2.1.1.3

Associez.

$y^{2} = 2 (\frac{1 x^{2}}{4 \cdot 2} + \frac{1}{4} \ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.2.1.1.4

Associez $\frac{1}{4}$ et $\ln (| x |)$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1 x^{2}}{4 \cdot 2} + \frac{\ln (| x |)}{4} + C)$

Étape 3.2.2.1.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1.5.1

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{4 \cdot 2} + \frac{\ln (| x |)}{4} + C)$

Étape 3.2.2.1.1.5.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{8} + \frac{\ln (| x |)}{4} + C)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{8} + 2 \frac{\ln (| x |)}{4} + 2 C$

Étape 3.2.2.1.3

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2 (4)} + 2 \frac{\ln (| x |)}{4} + 2 C$

Étape 3.2.2.1.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2 \cdot 4} + 2 \frac{\ln (| x |)}{4} + 2 C$

Étape 3.2.2.1.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{\ln (| x |)}{4} + 2 C$

Étape 3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{\ln (| x |)}{2 (2)} + 2 C$

Étape 3.2.2.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{\ln (| x |)}{2 \cdot 2} + 2 C$

Étape 3.2.2.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{\ln (| x |)}{2} + 2 C$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + \frac{\ln (| x |)}{2} + 2 C}$

Étape 3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + \frac{\ln (| x |)}{2} + 2 C}$ .

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Étape 3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.1.1

Réécrivez $\frac{\ln (| x |)}{2}$ comme $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2} \ln (| x |) + 2 C}$

Étape 3.4.1.2

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C}$

Étape 3.4.2

Pour écrire $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot \frac{4}{4} + 2 C}$

Étape 3.4.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.4.3.1

Associez $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ et $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + \frac{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 4}{4} + 2 C}$

Étape 3.4.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 4}{4} + 2 C}$

Étape 3.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.4.1

Multipliez $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 4$ .

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Étape 3.4.4.1.1

Remettez dans l’ordre $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ et $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + 4 \cdot \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{4} + 2 C}$

Étape 3.4.4.1.2

Simplifiez $4 \cdot \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln ({({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{4})}{4} + 2 C}$

Étape 3.4.4.2

Multipliez les exposants dans ${({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{4}$ .

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Étape 3.4.4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2} \cdot 4})}{4} + 2 C}$

Étape 3.4.4.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (2))})}{4} + 2 C}$

Étape 3.4.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2)})}{4} + 2 C}$

Étape 3.4.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln ({| x |}^{2})}{4} + 2 C}$

Étape 3.4.4.3

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln (x^{2})}{4} + 2 C}$

Étape 3.4.5

Pour écrire $2 C$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln (x^{2})}{4} + 2 C \cdot \frac{4}{4}}$

Étape 3.4.6

Associez $2 C$ et $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln (x^{2})}{4} + \frac{2 C \cdot 4}{4}}$

Étape 3.4.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C \cdot 4}{4}}$

Étape 3.4.8

Multipliez $4$ par $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}{4}}$

Étape 3.4.9

Réécrivez $\frac{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}{4}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C)$ .

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Étape 3.4.9.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C)}{4}}$

Étape 3.4.9.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C)}{2^{2} \cdot 1}}$

Étape 3.4.9.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C)}$

Étape 3.4.10

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}$

Étape 3.4.11

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

Étape 3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

Étape 3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

Étape 3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + C}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + C}}{2}$