Calcul infinitésimal Exemples

$(y^{3} + y + 1) d x + (x^{2} - 3 x y^{2} - x) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = y^{3} + y + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{3} + y + 1]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{3} + y + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 1.5

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + 1 + 0$

Étape 1.6

Additionnez $3 y^{2} + 1$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + 1$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x^{2} - 3 x y^{2} - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x y^{2} - x]$

Étape 2.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $- 3 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x y^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 3 y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 3 y^{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 3 y^{2} - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 3 y^{2} - 1 \cdot 1$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 3 y^{2} - 1$

Étape 2.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 y^{2} + 2 x - 1$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $3 y^{2} + 1$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 3 y^{2} + 2 x - 1$ .

$3 y^{2} + 1 = - 3 y^{2} + 2 x - 1$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$3 y^{2} + 1 = - 3 y^{2} + 2 x - 1$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $3 y^{2} + 1$ .

$\frac{3 y^{2} + 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 3 y^{2} + 2 x - 1$ .

$\frac{3 y^{2} + 1 - (- 3 y^{2} + 2 x - 1)}{N}$

Étape 4.3

Remplacez $N$ par $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Remplacez $N$ par $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ .

$\frac{3 y^{2} + 1 - (- 3 y^{2} + 2 x - 1)}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 y^{2} + 1 - (- 3 y^{2}) - (2 x) - - 1}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.1

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\frac{3 y^{2} + 1 + 3 y^{2} - (2 x) - - 1}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Étape 4.3.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{3 y^{2} + 1 + 3 y^{2} - 2 x - - 1}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Étape 4.3.2.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{3 y^{2} + 1 + 3 y^{2} - 2 x + 1}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Étape 4.3.2.3

Additionnez $3 y^{2}$ et $3 y^{2}$ .

$\frac{6 y^{2} + 1 - 2 x + 1}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Étape 4.3.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{6 y^{2} - 2 x + 2}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Étape 4.3.2.5

Factorisez $2$ à partir de $6 y^{2} - 2 x + 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $6 y^{2}$ .

$\frac{2 (3 y^{2}) - 2 x + 2}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Étape 4.3.2.5.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{2 (3 y^{2}) + 2 (- x) + 2}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Étape 4.3.2.5.3

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (3 y^{2}) + 2 (- x) + 2 (1)}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Étape 4.3.2.5.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 y^{2}) + 2 (- x)$ .

$\frac{2 (3 y^{2} - x) + 2 (1)}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Étape 4.3.2.5.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 y^{2} - x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (3 y^{2} - x + 1)}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Étape 4.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{2 (3 y^{2} - x + 1)}{x \cdot x - 3 x y^{2} - x}$

Étape 4.3.3.2

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x y^{2}$ .

$\frac{2 (3 y^{2} - x + 1)}{x \cdot x + x (- 3 y^{2}) - x}$

Étape 4.3.3.3

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$\frac{2 (3 y^{2} - x + 1)}{x \cdot x + x (- 3 y^{2}) + x \cdot - 1}$

Étape 4.3.3.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x (- 3 y^{2})$ .

$\frac{2 (3 y^{2} - x + 1)}{x (x - 3 y^{2}) + x \cdot - 1}$

Étape 4.3.3.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x - 3 y^{2}) + x \cdot - 1$ .

$\frac{2 (3 y^{2} - x + 1)}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun à $3 y^{2} - x + 1$ et $x - 3 y^{2} - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.1

Factorisez $- 1$ à partir de $3 y^{2}$ .

$\frac{2 (- (- 3 y^{2}) - x + 1)}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

Étape 4.3.4.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{2 (- (- 3 y^{2}) - (x) + 1)}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

Étape 4.3.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (- 3 y^{2}) - (x)$ .

$\frac{2 (- (- 3 y^{2} + x) + 1)}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

Étape 4.3.4.4

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (- 3 y^{2} + x) - 1 (- 1))}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

Étape 4.3.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (- 3 y^{2} + x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (- 3 y^{2} + x - 1))}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

Étape 4.3.4.6

Réécrivez $- (- 3 y^{2} + x - 1)$ comme $- 1 (- 3 y^{2} + x - 1)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 3 y^{2} + x - 1))}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

Étape 4.3.4.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 (- 1 (- 3 y^{2} + x - 1))}{x (- 3 y^{2} + x - 1)}$

Étape 4.3.4.8

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 1 (- 3 y^{2} + x - 1))}{x (- 3 y^{2} + x - 1)}$

Étape 4.3.4.9

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{x}$

Étape 4.3.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2}{x}$

Étape 4.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{x}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Étape 5.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Étape 5.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 5.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 5.5

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Étape 5.6

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.1

Simplifiez $- 2 \ln (| x |)$ en déplaçant $- 2$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Étape 5.6.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Étape 5.6.3

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{- 2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Étape 5.6.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(y^{3} + y + 1) d x + (x^{2} - 3 x y^{2} - x) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{x^{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Multipliez $y^{3} + y + 1$ par $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(y^{3} + y + 1) \frac{1}{x^{2}} d x + (x^{2} - 3 x y^{2} - x) d y = 0$

Étape 6.2

Multipliez $y^{3} + y + 1$ par $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + (x^{2} - 3 x y^{2} - x) d y = 0$

Étape 6.3

Multipliez $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ par $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + (x^{2} - 3 x y^{2} - x) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Étape 6.4

Multipliez $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ par $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x^{2} - 3 x y^{2} - x}{x^{2}} d y = 0$

Étape 6.5

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x \cdot x - 3 x y^{2} - x}{x^{2}} d y = 0$

Étape 6.5.2

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x y^{2}$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x \cdot x + x (- 3 y^{2}) - x}{x^{2}} d y = 0$

Étape 6.5.3

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x \cdot x + x (- 3 y^{2}) + x \cdot - 1}{x^{2}} d y = 0$

Étape 6.5.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x (- 3 y^{2})$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 3 y^{2}) + x \cdot - 1}{x^{2}} d y = 0$

Étape 6.5.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x - 3 y^{2}) + x \cdot - 1$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 3 y^{2} - 1)}{x^{2}} d y = 0$

Étape 6.6

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 3 y^{2} - 1)}{x \cdot x} d y = 0$

Étape 6.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 3 y^{2} - 1)}{x \cdot x} d y = 0$

Étape 6.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x} d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x$

Étape 8

Intégrez $M (x, y) = \frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Comme $y^{3} + y + 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $y^{3} + y + 1$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 8.2

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 8.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 8.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) \int x^{- 2} d x$

Étape 8.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) (- x^{- 1} + C)$

Étape 8.5

Réécrivez $(y^{3} + y + 1) (- x^{- 1} + C)$ comme $(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + C$ .

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + g (y)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x})]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.3.1

Comme $- \frac{1}{x}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x})$ par rapport à $y$ est $- \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y^{3} + y + 1]$ .

$- \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y^{3} + y + 1] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Étape 11.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{3} + y + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$- \frac{1}{x} (\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Étape 11.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- \frac{1}{x} (3 y^{2} + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Étape 11.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{1}{x} (3 y^{2} + 1 + \frac{d}{d y} [1]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Étape 11.3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$- \frac{1}{x} (3 y^{2} + 1 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Étape 11.3.6

Additionnez $3 y^{2} + 1$ et $0$ .

$- \frac{1}{x} (3 y^{2} + 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$- \frac{1}{x} (3 y^{2} + 1) + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Étape 11.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{x} (3 y^{2}) - \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Étape 11.5.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.5.2.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 \frac{1}{x} y^{2} - \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Étape 11.5.2.2

Associez $- 3$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- 3}{x} y^{2} - \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Étape 11.5.2.3

Associez $\frac{- 3}{x}$ et $y^{2}$ .

$\frac{- 3 y^{2}}{x} - \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Étape 11.5.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Étape 11.5.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{1}{x} + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Étape 11.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} - \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{1}{x} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.1.1

Soustrayez $\frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} - \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{1}{x} - \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x} = 0$

Étape 12.1.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 3 y^{2} - 1 - (x - 3 y^{2} - 1)}{x} = 0$

Étape 12.1.1.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 3 y^{2} - 1 - x - (- 3 y^{2}) - - 1}{x} = 0$

Étape 12.1.1.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.1.3.2.1

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 3 y^{2} - 1 - x + 3 y^{2} - - 1}{x} = 0$

Étape 12.1.1.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 3 y^{2} - 1 - x + 3 y^{2} + 1}{x} = 0$

Étape 12.1.1.4

Associez les termes opposés dans $- 3 y^{2} - 1 - x + 3 y^{2} + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.1.4.1

Additionnez $- 3 y^{2}$ et $3 y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 1 - x + 0 + 1}{x} = 0$

Étape 12.1.1.4.2

Additionnez $- 1 - x$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 1 - x + 1}{x} = 0$

Étape 12.1.1.4.3

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x + 0}{x} = 0$

Étape 12.1.1.4.4

Additionnez $- x$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x}{x} = 0$

Étape 12.1.1.5

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x}{x} = 0$

Étape 12.1.1.5.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\frac{d g}{d y} - 1 = 0$

Étape 12.1.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = 1$

Étape 13

Déterminez la primitive de $1$ afin de déterminer $g (y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int d y$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int d y$

Étape 13.3

Appliquez la règle de la constante.

$g (y) = y + C$

Étape 14

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = (y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + g (y)$ .

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + y + C$

Étape 15

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = y^{3} (- \frac{1}{x}) + y (- \frac{1}{x}) + 1 (- \frac{1}{x}) + y + C$

Étape 15.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (x, y) = - y^{3} \frac{1}{x} + y (- \frac{1}{x}) + 1 (- \frac{1}{x}) + y + C$

Étape 15.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (x, y) = - y^{3} \frac{1}{x} - y \frac{1}{x} + 1 (- \frac{1}{x}) + y + C$

Étape 15.2.3

Multipliez $- \frac{1}{x}$ par $1$ .

$f (x, y) = - y^{3} \frac{1}{x} - y \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + y + C$

Étape 15.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.3.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $y^{3}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{3}}{x} - y \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + y + C$

Étape 15.3.2

Associez $\frac{1}{x}$ et $y$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{3}}{x} - \frac{y}{x} - \frac{1}{x} + y + C$