Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} + y = x^{4} - 3 x$

Étape 1

Vérifiez si le côté gauche de l’équation est le résultat de la dérivée du terme $x y$ .

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Étape 1.4

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Étape 1.5

Remettez dans l’ordre $y$ et $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Étape 1.6

Multipliez $y$ par $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Étape 2

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [x y] = x^{4} - 3 x$

Étape 3

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x^{4} - 3 x d x$

Étape 4

Intégrez le côté gauche.

$x y = \int x^{4} - 3 x d x$

Étape 5

Intégrez le côté droit.

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Étape 5.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$x y = \int x^{4} d x + \int - 3 x d x$

Étape 5.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x y = \frac{1}{5} x^{5} + C + \int - 3 x d x$

Étape 5.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$x y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 3 \int x d x$

Étape 5.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 5.5

Simplifiez

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Étape 5.5.1

Simplifiez

$x y = \frac{1}{5} x^{5} - 3 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Étape 5.5.2

Simplifiez

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Étape 5.5.2.1

Associez $- 3$ et $\frac{1}{2}$ .

$x y = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{- 3}{2} x^{2} + C$

Étape 5.5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{3}{2} x^{2} + C$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $x y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{3}{2} x^{2} + C$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $x y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{3}{2} x^{2} + C$ par $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.1

Annulez le facteur commun à $x^{5}$ et $x$ .

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Étape 6.3.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{5} x^{4})}{x} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{5} x^{4})}{x^{1}} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3.1.1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{5} x^{4})}{x \cdot 1} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3.1.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x (\frac{1}{5} x^{4})}{x \cdot 1} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3.1.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{4}}{1} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3.1.1.2.5

Divisez $\frac{1}{5} x^{4}$ par $1$ .

$y = \frac{1}{5} x^{4} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3.1.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{4}$ .

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3.1.3

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 6.3.1.3.1

Factorisez $x$ à partir de $- \frac{3}{2} x^{2}$ .

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{x (- \frac{3}{2} x)}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{x (- \frac{3}{2} x)}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3.1.3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{x (- \frac{3}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3.1.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{x (- \frac{3}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3.1.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{- \frac{3}{2} x}{1} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3.1.3.2.5

Divisez $- \frac{3}{2} x$ par $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{5} - \frac{3}{2} x + \frac{C}{x}$

Étape 6.3.1.4

Associez $x$ et $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{x^{4}}{5} - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{C}{x}$

Étape 6.3.1.5

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$y = \frac{x^{4}}{5} - \frac{3 x}{2} + \frac{C}{x}$