Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \sin (x^{2})$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Factorisez $y$ à partir de $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = \sin (x^{2})$

Étape 1.2

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = \sin (x^{2})$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{1}{x}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{\ln (x)}$

Étape 2.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $x$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x \sin (x^{2})$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \sin (x^{2})$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \sin (x^{2})$

Étape 3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \sin (x^{2})$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [x y] = x \sin (x^{2})$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x \sin (x^{2}) d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$x y = \int x \sin (x^{2}) d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Laissez $u = x^{2}$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.1.1

Laissez $u = x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.1.1.1

Différenciez $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 7.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x$

Étape 7.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$x y = \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Étape 7.2

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$x y = \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

Étape 7.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$x y = \frac{1}{2} \int \sin (u) d u$

Étape 7.4

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$x y = \frac{1}{2} (- \cos (u) + C)$

Étape 7.5

Simplifiez

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Étape 7.5.1

Simplifiez

$x y = \frac{1}{2} (- \cos (u)) + C$

Étape 7.5.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\cos (u)$ .

$x y = - \frac{\cos (u)}{2} + C$

Étape 7.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$x y = - \frac{\cos (x^{2})}{2} + C$

Étape 7.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$x y = - \frac{1}{2} \cos (x^{2}) + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $x y = - \frac{1}{2} \cos (x^{2}) + C$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $x y = - \frac{1}{2} \cos (x^{2}) + C$ par $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{- \frac{1}{2} \cos (x^{2})}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y}{x} = \frac{- \frac{1}{2} \cos (x^{2})}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{2} \cos (x^{2})}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1.1

Associez $\cos (x^{2})$ et $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{- \frac{\cos (x^{2})}{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 8.3.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = - \frac{\cos (x^{2})}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 8.3.1.3

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{\cos (x^{2})}{2}$ .

$y = - \frac{\cos (x^{2})}{x \cdot 2} + \frac{C}{x}$

Étape 8.3.1.4

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$y = - \frac{\cos (x^{2})}{2 x} + \frac{C}{x}$