Calcul infinitésimal Exemples

$y \frac{d y}{d x} - x = 2 y^{2}$

Étape 1

Laissez $v = y^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $y^{2}$ par $v$ .

$y \frac{d y}{d x} - x = 2 v$

Étape 2

Déterminez $\frac{d v}{d x}$ en différenciant $y^{2}$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 y y'$

Étape 3

Remplacez à nouveau la dérivée dans l’équation différentielle.

$\frac{1}{2} \frac{d v}{d x} - x = 2 v$

Étape 4

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $M (x) \frac{d v}{d x} + P (x) v = Q (x)$ .

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Étape 4.1.1

Soustrayez $2 v$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{2} \frac{d v}{d x} - x - 2 v = 0$

Étape 4.1.2

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{2} \frac{d v}{d x} - 2 v = x$

Étape 4.2

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{2} \frac{d v}{d x} - 2 v = x$ par $2$ .

$\frac{1}{2} \frac{d v}{d x} \cdot 2 - 2 v \cdot 2 = x \cdot 2$

Étape 4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2} \cdot 2 - 2 v \cdot 2 = x \cdot 2$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2} \cdot 2 - 2 v \cdot 2 = x \cdot 2$

Étape 4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d x} - 2 v \cdot 2 = x \cdot 2$

Étape 4.5

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{d v}{d x} - 4 v = x \cdot 2$

Étape 4.6

Remettez dans l’ordre $x$ et $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 4 v = 2 \cdot x$

Étape 5

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - 4$ .

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Étape 5.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - 4 d x}$

Étape 5.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{- 4 x + C}$

Étape 5.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- 4 x}$

Étape 6

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{- 4 x}$ .

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Étape 6.1

Multipliez chaque terme par $e^{- 4 x}$ .

$e^{- 4 x} \frac{d v}{d x} + e^{- 4 x} (- 4 v) = e^{- 4 x} (2 \cdot x)$

Étape 6.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- 4 x} \frac{d v}{d x} - 4 e^{- 4 x} v = e^{- 4 x} (2 \cdot x)$

Étape 6.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- 4 x} \frac{d v}{d x} - 4 e^{- 4 x} v = 2 e^{- 4 x} x$

Étape 6.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- 4 x} \frac{d v}{d x} - 4 e^{- 4 x} v = 2 e^{- 4 x} x$ .

$e^{- 4 x} \frac{d v}{d x} - 4 v e^{- 4 x} = 2 x e^{- 4 x}$

Étape 7

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{- 4 x} v] = 2 x e^{- 4 x}$

Étape 8

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 4 x} v] d x = \int 2 x e^{- 4 x} d x$

Étape 9

Intégrez le côté gauche.

$e^{- 4 x} v = \int 2 x e^{- 4 x} d x$

Étape 10

Intégrez le côté droit.

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Étape 10.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 4 x} v = 2 \int x e^{- 4 x} d x$

Étape 10.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{- 4 x}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (x (- \frac{1}{4} e^{- 4 x}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

Étape 10.3

Simplifiez

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Étape 10.3.1

Associez $e^{- 4 x}$ et $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (x (- \frac{e^{- 4 x}}{4}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

Étape 10.3.2

Associez $x$ et $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

Étape 10.3.3

Associez $e^{- 4 x}$ et $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

Étape 10.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - - \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

Étape 10.5

Simplifiez

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Étape 10.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + 1 \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

Étape 10.5.2

Multipliez $\int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x$ par $1$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

Étape 10.6

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{- 4 x} d x)$

Étape 10.7

Laissez $u = - 4 x$ . Alors $d u = - 4 d x$ , donc $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 10.7.1

Laissez $u = - 4 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 10.7.1.1

Différenciez $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 10.7.1.2

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 10.7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Étape 10.7.1.4

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$- 4$

Étape 10.7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{- 4} d u)$

Étape 10.8

Simplifiez

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Étape 10.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u} (- \frac{1}{4}) d u)$

Étape 10.8.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int - \frac{e^{u}}{4} d u)$

Étape 10.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- \int \frac{e^{u}}{4} d u))$

Étape 10.10

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- (\frac{1}{4} \int e^{u} d u)))$

Étape 10.11

Simplifiez

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Étape 10.11.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

Étape 10.11.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

Étape 10.12

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

Étape 10.13

Simplifiez

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Étape 10.13.1

Réécrivez $2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ comme $2 (- \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Étape 10.13.2

Simplifiez

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Étape 10.13.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x}{4} e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Étape 10.13.2.2

Associez $e^{- 4 x}$ et $\frac{x}{4}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Étape 10.13.2.3

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{16}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{u}}{16}) + C$

Étape 10.14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 4 x$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

Étape 10.15

Simplifiez

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Étape 10.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4}) + 2 (- \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

Étape 10.15.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.15.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{e^{- 4 x} x}{4}$ dans le numérateur.

$e^{- 4 x} v = 2 \frac{- e^{- 4 x} x}{4} + 2 (- \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

Étape 10.15.2.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$e^{- 4 x} v = 2 \frac{- e^{- 4 x} x}{2 (2)} + 2 (- \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

Étape 10.15.2.3

Annulez le facteur commun.

$e^{- 4 x} v = 2 \frac{- e^{- 4 x} x}{2 \cdot 2} + 2 (- \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

Étape 10.15.2.4

Réécrivez l’expression.

$e^{- 4 x} v = \frac{- e^{- 4 x} x}{2} + 2 (- \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

Étape 10.15.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.15.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{e^{- 4 x}}{16}$ dans le numérateur.

$e^{- 4 x} v = \frac{- e^{- 4 x} x}{2} + 2 \frac{- e^{- 4 x}}{16} + C$

Étape 10.15.3.2

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$e^{- 4 x} v = \frac{- e^{- 4 x} x}{2} + 2 \frac{- e^{- 4 x}}{2 (8)} + C$

Étape 10.15.3.3

Annulez le facteur commun.

$e^{- 4 x} v = \frac{- e^{- 4 x} x}{2} + 2 \frac{- e^{- 4 x}}{2 \cdot 8} + C$

Étape 10.15.3.4

Réécrivez l’expression.

$e^{- 4 x} v = \frac{- e^{- 4 x} x}{2} + \frac{- e^{- 4 x}}{8} + C$

Étape 10.15.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.15.4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{- 4 x} v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} + \frac{- e^{- 4 x}}{8} + C$

Étape 10.15.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{- 4 x} v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} + C$

Étape 10.15.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8}$ .

$e^{- 4 x} v = - \frac{x e^{- 4 x}}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} + C$

Étape 10.16

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{- 4 x} v = - \frac{1}{2} x e^{- 4 x} - \frac{1}{8} e^{- 4 x} + C$

Étape 11

Résolvez $v$ .

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Étape 11.1

Simplifiez

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Étape 11.1.1

Associez $x$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 4 x} v = - \frac{x}{2} e^{- 4 x} - \frac{1}{8} e^{- 4 x} + C$

Étape 11.1.2

Associez $e^{- 4 x}$ et $\frac{x}{2}$ .

$e^{- 4 x} v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{1}{8} e^{- 4 x} + C$

Étape 11.1.3

Associez $e^{- 4 x}$ et $\frac{1}{8}$ .

$e^{- 4 x} v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} + C$

Étape 11.2

Divisez chaque terme dans $e^{- 4 x} v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} + C$ par $e^{- 4 x}$ et simplifiez.

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Étape 11.2.1

Divisez chaque terme dans $e^{- 4 x} v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} + C$ par $e^{- 4 x}$ .

$\frac{e^{- 4 x} v}{e^{- 4 x}} = \frac{- \frac{e^{- 4 x} x}{2}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Étape 11.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.2.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{- 4 x}$ .

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Étape 11.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- 4 x} v}{e^{- 4 x}} = \frac{- \frac{e^{- 4 x} x}{2}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Étape 11.2.2.1.2

Divisez $v$ par $1$ .

$v = \frac{- \frac{e^{- 4 x} x}{2}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Étape 11.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} \cdot \frac{1}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Étape 11.2.3.1.2

Multipliez $\frac{1}{e^{- 4 x}}$ par $\frac{e^{- 4 x} x}{2}$ .

$v = - \frac{e^{- 4 x} x}{e^{- 4 x} \cdot 2} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Étape 11.2.3.1.3

Annulez le facteur commun de $e^{- 4 x}$ .

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Étape 11.2.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$v = - \frac{e^{- 4 x} x}{e^{- 4 x} \cdot 2} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Étape 11.2.3.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$v = - \frac{x}{2} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Étape 11.2.3.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$v = - \frac{x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} \cdot \frac{1}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Étape 11.2.3.1.5

Multipliez $\frac{1}{e^{- 4 x}}$ par $\frac{e^{- 4 x}}{8}$ .

$v = - \frac{x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x} \cdot 8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Étape 11.2.3.1.6

Annulez le facteur commun de $e^{- 4 x}$ .

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Étape 11.2.3.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$v = - \frac{x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x} \cdot 8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Étape 11.2.3.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$v = - \frac{x}{2} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Étape 12

Remplacez toutes les occurrences de $v$ par $y^{2}$ .

$y^{2} = - \frac{x}{2} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Étape 13

Résolvez $y$ .

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Étape 13.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{2} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

Étape 13.2

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{x}{2} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$ .

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Étape 13.2.1

Pour écrire $- \frac{x}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

Étape 13.2.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 13.2.2.1

Multipliez $\frac{x}{2}$ par $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x \cdot 4}{2 \cdot 4} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

Étape 13.2.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x \cdot 4}{8} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

Étape 13.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{- x \cdot 4 - 1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

Étape 13.2.4

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- 4 x - 1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

Étape 13.2.5

Pour écrire $\frac{- 4 x - 1}{8}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- 4 x - 1}{8} \cdot \frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

Étape 13.2.6

Pour écrire $\frac{C}{e^{- 4 x}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- 4 x - 1}{8} \cdot \frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}} \cdot \frac{8}{8}}$

Étape 13.2.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8 e^{- 4 x}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 13.2.7.1

Multipliez $\frac{- 4 x - 1}{8}$ par $\frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(- 4 x - 1) e^{- 4 x}}{8 e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}} \cdot \frac{8}{8}}$

Étape 13.2.7.2

Multipliez $\frac{C}{e^{- 4 x}}$ par $\frac{8}{8}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(- 4 x - 1) e^{- 4 x}}{8 e^{- 4 x}} + \frac{C \cdot 8}{e^{- 4 x} \cdot 8}}$

Étape 13.2.7.3

Réorganisez les facteurs de $e^{- 4 x} \cdot 8$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(- 4 x - 1) e^{- 4 x}}{8 e^{- 4 x}} + \frac{C \cdot 8}{8 e^{- 4 x}}}$

Étape 13.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{(- 4 x - 1) e^{- 4 x} + C \cdot 8}{8 e^{- 4 x}}}$

Étape 13.2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.2.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \pm \sqrt{\frac{- 4 x e^{- 4 x} - 1 e^{- 4 x} + C \cdot 8}{8 e^{- 4 x}}}$

Étape 13.2.9.2

Réécrivez $- 1 e^{- 4 x}$ comme $- e^{- 4 x}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + C \cdot 8}{8 e^{- 4 x}}}$

Étape 13.2.9.3

Déplacez $8$ à gauche de $C$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}{8 e^{- 4 x}}}$

Étape 13.2.10

Réécrivez $\frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}{8 e^{- 4 x}}$ comme ${(\frac{1}{2 e^{- 2 x}})}^{2} \frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}{2}$ .

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Étape 13.2.10.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}{8 e^{- 4 x}}}$

Étape 13.2.10.2

Factorisez la puissance parfaite ${(2 e^{- 2 x})}^{2}$ dans $8 e^{- 4 x}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}{{(2 e^{- 2 x})}^{2} \cdot 2}}$

Étape 13.2.10.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}{{(2 e^{- 2 x})}^{2} \cdot 2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2 e^{- 2 x}})}^{2} \frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}{2}}$

Étape 13.2.11

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm \frac{1}{2 e^{- 2 x}} \sqrt{\frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}{2}}$

Étape 13.2.12

Réécrivez $\sqrt{\frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{1}{2 e^{- 2 x}} \cdot \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{\sqrt{2}}$

Étape 13.2.13

Associez.

$y = \pm \frac{1 \sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{2 e^{- 2 x} \sqrt{2}}$

Étape 13.2.14

Multipliez $\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}$ par $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{2 e^{- 2 x} \sqrt{2}}$

Étape 13.2.15

Multipliez $\frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{2 e^{- 2 x} \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{2 e^{- 2 x} \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 13.2.16

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.2.16.1

Multipliez $\frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{2 e^{- 2 x} \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 13.2.16.2

Déplacez $\sqrt{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 13.2.16.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Étape 13.2.16.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Étape 13.2.16.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 13.2.16.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 13.2.16.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 13.2.16.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 13.2.16.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 13.2.16.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 13.2.16.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.2.16.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 13.2.16.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} \cdot 2^{1}}$

Étape 13.2.16.7.5

Évaluez l’exposant.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} \cdot 2}$

Étape 13.2.17

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \pm \frac{\sqrt{(- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C) \cdot 2}}{2 e^{- 2 x} \cdot 2}$

Étape 13.2.18

Simplifiez l’expression.

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Étape 13.2.18.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C) \cdot 2}}{4 e^{- 2 x}}$

Étape 13.2.18.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm \frac{\sqrt{(- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C) \cdot 2}}{4 e^{- 2 x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

Étape 13.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 13.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

Étape 13.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

Étape 13.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

Étape 14

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + C)}}{4 e^{- 2 x}}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + C)}}{4 e^{- 2 x}}$