Calcul infinitésimal Exemples

$x e^{x^{2} + y} d x = y d y$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de l’équation différentielle exacte.

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Étape 1.1

Soustrayez $y d y$ des deux côtés de l’équation.

$x e^{x^{2} + y} d x - y d y = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = x e^{x^{2} + y}$ .

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Étape 2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x e^{x^{2} + y}]$

Étape 2.2

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x e^{x^{2} + y}$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [e^{x^{2} + y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [e^{x^{2} + y}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = e^{y}$ et $g (y) = x^{2} + y$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x^{2} + y])$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{u} \frac{d}{d y} [x^{2} + y])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} \frac{d}{d y} [x^{2} + y])$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y]))$

Étape 2.4.2

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} (0 + \frac{d}{d y} [y]))$

Étape 2.4.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} \frac{d}{d y} [y])$

Étape 2.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} \cdot 1)$

Étape 2.4.5

Multipliez $e^{x^{2} + y}$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x e^{x^{2} + y}$

Étape 3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = - y$ .

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Étape 3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.2

Comme $- y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Étape 4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $x e^{x^{2} + y}$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $0$ .

$x e^{x^{2} + y} = 0$

Étape 4.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$x e^{x^{2} + y} = 0$ n’est pas une identité.

Étape 5

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 5.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $0$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 5.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $x e^{x^{2} + y}$ .

$\frac{0 - (x e^{x^{2} + y})}{M}$

Étape 5.3

Remplacez $M$ par $x e^{x^{2} + y}$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez $M$ par $x e^{x^{2} + y}$ .

$\frac{0 - (x e^{x^{2} + y})}{x e^{x^{2} + y}}$

Étape 5.3.2

Soustrayez $x e^{x^{2} + y}$ de $0$ .

$\frac{- x e^{x^{2} + y}}{x e^{x^{2} + y}}$

Étape 5.3.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- x e^{x^{2} + y}}{x e^{x^{2} + y}}$

Étape 5.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y}}$

Étape 5.3.4

Remplacez $M$ par $x e^{x^{2} + y}$ .

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Étape 5.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y}}$

Étape 5.3.4.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 5.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - 1 d y}$

Étape 6

Évaluez l’intégrale $e^{\int - 1 d y}$ .

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Étape 6.1

Appliquez la règle de la constante.

$μ (x, y) = e^{- y + C}$

Étape 6.2

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- y} + C$

Étape 7

Multipliez les deux côtés de $x e^{x^{2} + y} d x - y d y = 0$ par le facteur d’intégration $e^{- y}$ .

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Étape 7.1

Multipliez $x e^{x^{2} + y}$ par $e^{- y}$ .

$x e^{x^{2} + y} e^{- y} d x - y d y = 0$

Étape 7.2

Multipliez $e^{x^{2} + y}$ par $e^{- y}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.2.1

Déplacez $e^{- y}$ .

$x (e^{- y} e^{x^{2} + y}) d x - y d y = 0$

Étape 7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x e^{- y + x^{2} + y} d x - y d y = 0$

Étape 7.2.3

Associez les termes opposés dans $- y + x^{2} + y$ .

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Étape 7.2.3.1

Additionnez $- y$ et $y$ .

$x e^{x^{2} + 0} d x - y d y = 0$

Étape 7.2.3.2

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$x e^{x^{2}} d x - y d y = 0$

Étape 7.3

Multipliez $- y$ par $e^{- y}$ .

$x e^{x^{2}} d x - y e^{- y} d y = 0$

Étape 8

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{x^{2}} d x$

Étape 9

Intégrez $M (x, y) = x e^{x^{2}}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 9.1

Laissez $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Alors $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 9.1.1

Laissez $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 9.1.1.1

Différenciez $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Étape 9.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 9.1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 9.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 9.1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 9.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Étape 9.1.1.4

Simplifiez

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Étape 9.1.1.4.1

Réorganisez les facteurs de $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Étape 9.1.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Étape 9.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 9.2

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = \frac{1}{2} u_{2} + C$

Étape 9.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $e^{x^{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

Étape 10

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)$

Étape 11

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - y e^{- y}$

Étape 12

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 12.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)] = - y e^{- y}$

Étape 12.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y e^{- y}$

Étape 12.3

Comme $\frac{1}{2} e^{x^{2}}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{1}{2} e^{x^{2}}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y e^{- y}$

Étape 12.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$

Étape 12.5

Additionnez $0$ et $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $- y e^{- y}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y e^{- y} d y$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y e^{- y} d y$

Étape 13.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = - \int y e^{- y} d y$

Étape 13.4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = y$ et $d v = e^{- y}$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y)$

Étape 13.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y)$

Étape 13.6

Simplifiez

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Étape 13.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y)$

Étape 13.6.2

Multipliez $\int e^{- y} d y$ par $1$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y)$

Étape 13.7

Laissez $u = - y$ . Alors $d u = - d y$ , donc $- d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 13.7.1

Laissez $u = - y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 13.7.1.1

Différenciez $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Étape 13.7.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Étape 13.7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 13.7.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 13.7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u)$

Étape 13.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u)$

Étape 13.9

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$

Étape 13.10

Réécrivez $- (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$ comme $- (- y e^{- y} - e^{u}) + C$ .

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{u}) + C$

Étape 13.11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- y$ .

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{- y}) + C$

Étape 13.12

Simplifiez

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Étape 13.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$g (y) = - (- y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

Étape 13.12.2

Multipliez $- (- y e^{- y})$ .

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Étape 13.12.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$g (y) = 1 (y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

Étape 13.12.2.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$g (y) = y e^{- y} - - e^{- y} + C$

Étape 13.12.3

Multipliez $- - e^{- y}$ .

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Étape 13.12.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$g (y) = y e^{- y} + 1 e^{- y} + C$

Étape 13.12.3.2

Multipliez $e^{- y}$ par $1$ .

$g (y) = y e^{- y} + e^{- y} + C$

Étape 14

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + y e^{- y} + e^{- y} + C$

Étape 15

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{x^{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{x^{2}}}{2} + y e^{- y} + e^{- y} + C$