Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d t} = \sqrt{t}$ , $y (1) = 1$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = \sqrt{t} d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \sqrt{t} d t$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \sqrt{t} d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \int t^{\frac{1}{2}} d t$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $t$ est $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $t$ par $1$ et $y$ par $1$ dans $y = \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + K$ .

$1 = \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + K = 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + K = 1$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{2}{3} \cdot 1 + K = 1$

Étape 4.2.2

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$\frac{2}{3} + K = 1$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $\frac{2}{3}$ des deux côtés de l’équation.

$K = 1 - \frac{2}{3}$

Étape 4.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$K = \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

Étape 4.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$K = \frac{3 - 2}{3}$

Étape 4.3.4

Soustrayez $2$ de $3$ .

$K = \frac{1}{3}$

Étape 5

Remplacez $K$ par $\frac{1}{3}$ dans $y = \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3}$

Étape 5.2

Associez $\frac{2}{3}$ et $t^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{3}$