Calcul infinitésimal Exemples

$e^{5 y} d y = e^{5 x} d x$

Étape 1

Intégrez les deux côtés.

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Étape 1.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int e^{5 y} d y = \int e^{5 x} d x$

Étape 1.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Laissez $u_{1} = 5 y$ . Alors $d u_{1} = 5 d y$ , donc $\frac{1}{5} d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 1.2.1.1

Laissez $u_{1} = 5 y$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 1.2.1.1.1

Différenciez $5 y$ .

$\frac{d}{d y} [5 y]$

Étape 1.2.1.1.2

Comme $5$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $5 y$ par rapport à $y$ est $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$5 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Étape 1.2.1.1.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$5$

Étape 1.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{5} d u_{1} = \int e^{5 x} d x$

Étape 1.2.2

Associez $e^{u_{1}}$ et $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{5} d u_{1} = \int e^{5 x} d x$

Étape 1.2.3

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int e^{5 x} d x$

Étape 1.2.4

L’intégrale de $e^{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{5} (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int e^{5 x} d x$

Étape 1.2.5

Simplifiez

$\frac{1}{5} e^{u_{1}} + C_{1} = \int e^{5 x} d x$

Étape 1.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $5 y$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \int e^{5 x} d x$

Étape 1.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 1.3.1

Laissez $u_{2} = 5 x$ . Alors $d u_{2} = 5 d x$ , donc $\frac{1}{5} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 1.3.1.1

Laissez $u_{2} = 5 x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 1.3.1.1.1

Différenciez $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 1.3.1.1.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Étape 1.3.1.1.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$5$

Étape 1.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \int e^{u_{2}} \frac{1}{5} d u_{2}$

Étape 1.3.2

Associez $e^{u_{2}}$ et $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \int \frac{e^{u_{2}}}{5} d u_{2}$

Étape 1.3.3

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \frac{1}{5} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 1.3.4

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \frac{1}{5} (e^{u_{2}} + C_{2})$

Étape 1.3.5

Simplifiez

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \frac{1}{5} e^{u_{2}} + C_{2}$

Étape 1.3.6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $5 x$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \frac{1}{5} e^{5 x} + C_{2}$

Étape 1.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} = \frac{1}{5} e^{5 x} + K$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $5$ .

$5 (\frac{1}{5} e^{5 y}) = 5 (\frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

Étape 2.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 2.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1.1

Simplifiez $5 (\frac{1}{5} e^{5 y})$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $e^{5 y}$ .

$5 \frac{e^{5 y}}{5} = 5 (\frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$5 \frac{e^{5 y}}{5} = 5 (\frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{5 y} = 5 (\frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez $5 (\frac{1}{5} e^{5 x} + K)$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $e^{5 x}$ .

$e^{5 y} = 5 (\frac{e^{5 x}}{5} + K)$

Étape 2.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$e^{5 y} = 5 \frac{e^{5 x}}{5} + 5 K$

Étape 2.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$e^{5 y} = 5 \frac{e^{5 x}}{5} + 5 K$

Étape 2.2.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$e^{5 y} = e^{5 x} + 5 K$

Étape 2.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{5 y}) = \ln (e^{5 x} + 5 K)$

Étape 2.4

Développez le côté gauche.

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Étape 2.4.1

Développez $\ln (e^{5 y})$ en déplaçant $5 y$ hors du logarithme.

$5 y \ln (e) = \ln (e^{5 x} + 5 K)$

Étape 2.4.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$5 y \cdot 1 = \ln (e^{5 x} + 5 K)$

Étape 2.4.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$5 y = \ln (e^{5 x} + 5 K)$

Étape 2.5

Divisez chaque terme dans $5 y = \ln (e^{5 x} + 5 K)$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 2.5.1

Divisez chaque terme dans $5 y = \ln (e^{5 x} + 5 K)$ par $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (e^{5 x} + 5 K)}{5}$

Étape 2.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (e^{5 x} + 5 K)}{5}$

Étape 2.5.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (e^{5 x} + 5 K)}{5}$

Étape 3

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\ln (e^{5 x} + K)}{5}$