Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y}{t} - 7$

Étape 1

Laissez $V = \frac{y}{t}$ . Remplacez $\frac{y}{t}$ par $V$ .

$\frac{d y}{d t} = - V - 7$

Étape 2

Résolvez $V = \frac{y}{t}$ pour $y$ .

$y = V t$

Étape 3

Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de $y = V t$ par rapport à $t$ .

$\frac{d y}{d t} = t \frac{d V}{d t} + V$

Étape 4

Remplacez $\frac{d y}{d t}$ par $t \frac{d V}{d t} + V$ .

$t \frac{d V}{d t} + V = - V - 7$

Étape 5

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 5.1

Séparez les variables.

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Étape 5.1.1

Résolvez $\frac{d V}{d t}$ .

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Étape 5.1.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d V}{d t}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1.1.1

Soustrayez $V$ des deux côtés de l’équation.

$t \frac{d V}{d t} = - V - 7 - V$

Étape 5.1.1.1.2

Soustrayez $V$ de $- V$ .

$t \frac{d V}{d t} = - 2 V - 7$

Étape 5.1.1.2

Divisez chaque terme dans $t \frac{d V}{d t} = - 2 V - 7$ par $t$ et simplifiez.

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Étape 5.1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $t \frac{d V}{d t} = - 2 V - 7$ par $t$ .

$\frac{t \frac{d V}{d t}}{t} = \frac{- 2 V}{t} + \frac{- 7}{t}$

Étape 5.1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $t$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{t \frac{d V}{d t}}{t} = \frac{- 2 V}{t} + \frac{- 7}{t}$

Étape 5.1.1.2.2.1.2

Divisez $\frac{d V}{d t}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{- 2 V}{t} + \frac{- 7}{t}$

Étape 5.1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1.2.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d V}{d t} = - \frac{2 V}{t} + \frac{- 7}{t}$

Étape 5.1.1.2.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d V}{d t} = - \frac{2 V}{t} - \frac{7}{t}$

Étape 5.1.2

Factorisez.

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Étape 5.1.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{2 V}{t} - \frac{7}{t}$ .

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Étape 5.1.2.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{2 V}{t}$ .

$\frac{d V}{d t} = - (\frac{2 V}{t}) - \frac{7}{t}$

Étape 5.1.2.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{7}{t}$ .

$\frac{d V}{d t} = - (\frac{2 V}{t}) - (\frac{7}{t})$

Étape 5.1.2.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\frac{2 V}{t}) - (\frac{7}{t})$ .

$\frac{d V}{d t} = - (\frac{2 V}{t} + \frac{7}{t})$

Étape 5.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d V}{d t} = - \frac{2 V + 7}{t}$

Étape 5.1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{2 V + 7}$ .

$\frac{1}{2 V + 7} \frac{d V}{d t} = \frac{1}{2 V + 7} (- \frac{2 V + 7}{t})$

Étape 5.1.4

Simplifiez

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Étape 5.1.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{2 V + 7} \frac{d V}{d t} = - \frac{1}{2 V + 7} \cdot \frac{2 V + 7}{t}$

Étape 5.1.4.2

Annulez le facteur commun de $2 V + 7$ .

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Étape 5.1.4.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2 V + 7}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{2 V + 7} \frac{d V}{d t} = \frac{- 1}{2 V + 7} \cdot \frac{2 V + 7}{t}$

Étape 5.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 V + 7} \frac{d V}{d t} = \frac{- 1}{2 V + 7} \cdot \frac{2 V + 7}{t}$

Étape 5.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 V + 7} \frac{d V}{d t} = - \frac{1}{t}$

Étape 5.1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{2 V + 7} d V = - \frac{1}{t} d t$

Étape 5.2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 5.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{2 V + 7} d V = \int - \frac{1}{t} d t$

Étape 5.2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Laissez $u = 2 V + 7$ . Alors $d u = 2 d V$ , donc $\frac{1}{2} d u = d V$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Laissez $u = 2 V + 7$ . Déterminez $\frac{d u}{d V}$ .

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Étape 5.2.2.1.1.1

Différenciez $2 V + 7$ .

$\frac{d}{d V} [2 V + 7]$

Étape 5.2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 V + 7$ par rapport à $V$ est $\frac{d}{d V} [2 V] + \frac{d}{d V} [7]$ .

$\frac{d}{d V} [2 V] + \frac{d}{d V} [7]$

Étape 5.2.2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d V} [2 V]$ .

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Étape 5.2.2.1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $V$ , la dérivée de $2 V$ par rapport à $V$ est $2 \frac{d}{d V} [V]$ .

$2 \frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [7]$

Étape 5.2.2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ est $n V^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d V} [7]$

Étape 5.2.2.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d V} [7]$

Étape 5.2.2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 5.2.2.1.1.4.1

Comme $7$ est constant par rapport à $V$ , la dérivée de $7$ par rapport à $V$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 5.2.2.1.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 5.2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - \frac{1}{t} d t$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez

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Étape 5.2.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - \frac{1}{t} d t$

Étape 5.2.2.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int - \frac{1}{t} d t$

Étape 5.2.2.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{t} d t$

Étape 5.2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{t} d t$

Étape 5.2.2.5

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{t} d t$

Étape 5.2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 V + 7$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 V + 7 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{t} d t$

Étape 5.2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 V + 7 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{t} d t$

Étape 5.2.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{t}$ par rapport à $t$ est $\ln (| t |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 V + 7 |) + C_{1} = - (\ln (| t |) + C_{2})$

Étape 5.2.3.3

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| 2 V + 7 |) + C_{1} = - \ln (| t |) + C_{2}$

Étape 5.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 V + 7 |) = - \ln (| t |) + C$

Étape 5.3

Résolvez $V$ .

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Étape 5.3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 V + 7 |)) = 2 (- \ln (| t |) + C)$

Étape 5.3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 V + 7 |))$ .

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Étape 5.3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| 2 V + 7 |)$ .

$2 \frac{\ln (| 2 V + 7 |)}{2} = 2 (- \ln (| t |) + C)$

Étape 5.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\ln (| 2 V + 7 |)}{2} = 2 (- \ln (| t |) + C)$

Étape 5.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 2 V + 7 |) = 2 (- \ln (| t |) + C)$

Étape 5.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.2.1

Simplifiez $2 (- \ln (| t |) + C)$ .

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Étape 5.3.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 2 V + 7 |) = 2 (- \ln (| t |)) + 2 C$

Étape 5.3.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\ln (| 2 V + 7 |) = - 2 \ln (| t |) + 2 C$

Étape 5.3.3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| 2 V + 7 |) + 2 \ln (| t |) = 2 C$

Étape 5.3.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.4.1

Simplifiez $\ln (| 2 V + 7 |) + 2 \ln (| t |)$ .

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Étape 5.3.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.4.1.1.1

Simplifiez $2 \ln (| t |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln (| 2 V + 7 |) + \ln ({| t |}^{2}) = 2 C$

Étape 5.3.4.1.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| t |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\ln (| 2 V + 7 |) + \ln (t^{2}) = 2 C$

Étape 5.3.4.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 2 V + 7 | t^{2}) = 2 C$

Étape 5.3.4.1.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (| 2 V + 7 | t^{2})$ .

$\ln (t^{2} | 2 V + 7 |) = 2 C$

Étape 5.3.5

Pour résoudre $V$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (t^{2} | 2 V + 7 |)} = e^{2 C}$

Étape 5.3.6

Réécrivez $\ln (t^{2} | 2 V + 7 |) = 2 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = t^{2} | 2 V + 7 |$

Étape 5.3.7

Résolvez $V$ .

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Étape 5.3.7.1

Réécrivez l’équation comme $t^{2} | 2 V + 7 | = e^{2 C}$ .

$t^{2} | 2 V + 7 | = e^{2 C}$

Étape 5.3.7.2

Divisez chaque terme dans $t^{2} | 2 V + 7 | = e^{2 C}$ par $t^{2}$ et simplifiez.

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Étape 5.3.7.2.1

Divisez chaque terme dans $t^{2} | 2 V + 7 | = e^{2 C}$ par $t^{2}$ .

$\frac{t^{2} | 2 V + 7 |}{t^{2}} = \frac{e^{2 C}}{t^{2}}$

Étape 5.3.7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.7.2.2.1

Annulez le facteur commun de $t^{2}$ .

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Étape 5.3.7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{t^{2} | 2 V + 7 |}{t^{2}} = \frac{e^{2 C}}{t^{2}}$

Étape 5.3.7.2.2.1.2

Divisez $| 2 V + 7 |$ par $1$ .

$| 2 V + 7 | = \frac{e^{2 C}}{t^{2}}$

Étape 5.3.7.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$2 V + 7 = \pm \frac{e^{2 C}}{t^{2}}$

Étape 5.3.7.4

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$2 V = \pm \frac{e^{2 C}}{t^{2}} - 7$

Étape 5.3.7.5

Divisez chaque terme dans $2 V = \pm \frac{e^{2 C}}{t^{2}} - 7$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.3.7.5.1

Divisez chaque terme dans $2 V = \pm \frac{e^{2 C}}{t^{2}} - 7$ par $2$ .

$\frac{2 V}{2} = \frac{\pm \frac{e^{2 C}}{t^{2}}}{2} + \frac{- 7}{2}$

Étape 5.3.7.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.7.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.7.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 V}{2} = \frac{\pm \frac{e^{2 C}}{t^{2}}}{2} + \frac{- 7}{2}$

Étape 5.3.7.5.2.1.2

Divisez $V$ par $1$ .

$V = \frac{\pm \frac{e^{2 C}}{t^{2}}}{2} + \frac{- 7}{2}$

Étape 5.3.7.5.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.7.5.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$V = \frac{\pm \frac{e^{2 C}}{t^{2}}}{2} - \frac{7}{2}$

Étape 5.4

Regroupez les termes constants.

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Étape 5.4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$V = \frac{\pm \frac{C}{t^{2}}}{2} - \frac{7}{2}$

Étape 5.4.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$V = \frac{C \frac{1}{t^{2}}}{2} - \frac{7}{2}$

Étape 6

Remplacez $V$ par $\frac{y}{t}$ .

$\frac{y}{t} = \frac{C \frac{1}{t^{2}}}{2} - \frac{7}{2}$

Étape 7

Résolvez $\frac{y}{t} = \frac{C \frac{1}{t^{2}}}{2} - \frac{7}{2}$ pour $y$ .

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Étape 7.1

Multipliez les deux côtés par $t$ .

$\frac{y}{t} t = (\frac{C (\frac{1}{t^{2}})}{2} - \frac{7}{2}) t$

Étape 7.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun de $t$ .

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Étape 7.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{t} t = (\frac{C (\frac{1}{t^{2}})}{2} - \frac{7}{2}) t$

Étape 7.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = (\frac{C (\frac{1}{t^{2}})}{2} - \frac{7}{2}) t$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Simplifiez $(\frac{C (\frac{1}{t^{2}})}{2} - \frac{7}{2}) t$ .

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Étape 7.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.2.1.1.1

Associez $C$ et $\frac{1}{t^{2}}$ .

$y = (\frac{\frac{C}{t^{2}}}{2} - \frac{7}{2}) t$

Étape 7.2.2.1.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = (\frac{C}{t^{2}} \cdot \frac{1}{2} - \frac{7}{2}) t$

Étape 7.2.2.1.1.3

Associez.

$y = (\frac{C \cdot 1}{t^{2} \cdot 2} - \frac{7}{2}) t$

Étape 7.2.2.1.1.4

Multipliez $C$ par $1$ .

$y = (\frac{C}{t^{2} \cdot 2} - \frac{7}{2}) t$

Étape 7.2.2.1.1.5

Déplacez $2$ à gauche de $t^{2}$ .

$y = (\frac{C}{2 t^{2}} - \frac{7}{2}) t$

Étape 7.2.2.1.2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{C}{2 t^{2}} t - \frac{7}{2} t$

Étape 7.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun de $t$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1.2.2.1

Factorisez $t$ à partir de $2 t^{2}$ .

$y = \frac{C}{t (2 t)} t - \frac{7}{2} t$

Étape 7.2.2.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{C}{t (2 t)} t - \frac{7}{2} t$

Étape 7.2.2.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{C}{2 t} - \frac{7}{2} t$

Étape 7.2.2.1.2.3

Associez $t$ et $\frac{7}{2}$ .

$y = \frac{C}{2 t} - \frac{t \cdot 7}{2}$

Étape 7.2.2.1.3

Déplacez $7$ à gauche de $t$ .

$y = \frac{C}{2 t} - \frac{7 t}{2}$

Étape 7.2.2.1.4

Remettez dans l’ordre $\frac{C}{2 t}$ et $- \frac{7 t}{2}$ .

$y = - \frac{7 t}{2} + \frac{C}{2 t}$