Calcul infinitésimal Exemples

$x (1 + y^{2}) d x + y (1 + x^{2}) d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $x (1 + y^{2}) d x$ des deux côtés de l’équation.

$y (1 + x^{2}) d y = - x (1 + y^{2}) d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (y (1 + x^{2})) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $1 + x^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $1 + x^{2}$ à partir de $y (1 + x^{2})$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} ((1 + x^{2}) y) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} ((1 + x^{2}) y) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1 + y^{2}} y d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Étape 3.2

Associez $\frac{1}{1 + y^{2}}$ et $y$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = - \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (x (1 + y^{2})) d x$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $1 + y^{2}$ .

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Étape 3.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ dans le numérateur.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (x (1 + y^{2})) d x$

Étape 3.4.2

Factorisez $1 + y^{2}$ à partir de $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} (x (1 + y^{2})) d x$

Étape 3.4.3

Factorisez $1 + y^{2}$ à partir de $x (1 + y^{2})$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} ((1 + y^{2}) x) d x$

Étape 3.4.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} ((1 + y^{2}) x) d x$

Étape 3.4.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{1 + x^{2}} x d x$

Étape 3.5

Associez $\frac{- 1}{1 + x^{2}}$ et $x$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Laissez $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Alors $d u_{1} = 2 y d y$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 4.2.1.1

Laissez $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Différenciez $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Étape 4.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 4.2.1.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 4.2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Étape 4.2.1.1.5

Additionnez $0$ et $2 y$ .

$2 y$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{u_{1}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2.5

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $1 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.3.2

Laissez $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Alors $d u_{2} = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 4.3.2.1

Laissez $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Différenciez $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Étape 4.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.3.2.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.3.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Étape 4.3.2.1.5

Additionnez $0$ et $2 x$ .

$2 x$

Étape 4.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 4.3.3

Simplifiez

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Étape 4.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{u_{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Étape 4.3.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Étape 4.3.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Étape 4.3.5

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Étape 4.3.6

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Étape 4.3.7

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) = - \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Étape 5.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |))$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| 1 + y^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Étape 5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Étape 5.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez $2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Associez $\ln (| 1 + x^{2} |)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (- \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + C)$

Étape 5.2.2.1.2

Pour écrire $C$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (- \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Étape 5.2.2.1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.2.1.3.1

Associez $C$ et $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (- \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Étape 5.2.2.1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \frac{- \ln (| 1 + x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Étape 5.2.2.1.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.1.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \frac{- \ln (| 1 + x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Étape 5.2.2.1.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - \ln (| 1 + x^{2} |) + C \cdot 2$

Étape 5.2.2.1.4

Déplacez $2$ à gauche de $C$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - \ln (| 1 + x^{2} |) + 2 C$

Étape 5.3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| 1 + y^{2} |) + \ln (| 1 + x^{2} |) = 2 C$

Étape 5.4

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 + y^{2} | | 1 + x^{2} |) = 2 C$

Étape 5.5

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\ln (| (1 + y^{2}) (1 + x^{2}) |) = 2 C$

Étape 5.6

Développez $(1 + y^{2}) (1 + x^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 1 (1 + x^{2}) + y^{2} (1 + x^{2}) |) = 2 C$

Étape 5.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 1 \cdot 1 + 1 x^{2} + y^{2} (1 + x^{2}) |) = 2 C$

Étape 5.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 1 \cdot 1 + 1 x^{2} + y^{2} \cdot 1 + y^{2} x^{2} |) = 2 C$

Étape 5.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.7.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\ln (| 1 + 1 x^{2} + y^{2} \cdot 1 + y^{2} x^{2} |) = 2 C$

Étape 5.7.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\ln (| 1 + x^{2} + y^{2} \cdot 1 + y^{2} x^{2} |) = 2 C$

Étape 5.7.3

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$\ln (| 1 + x^{2} + y^{2} + y^{2} x^{2} |) = 2 C$

Étape 5.8

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| 1 + x^{2} + y^{2} + y^{2} x^{2} |)} = e^{2 C}$

Étape 5.9

Réécrivez $\ln (| 1 + x^{2} + y^{2} + y^{2} x^{2} |) = 2 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = | 1 + x^{2} + y^{2} + y^{2} x^{2} |$

Étape 5.10

Résolvez $y$ .

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Étape 5.10.1

Réécrivez l’équation comme $| 1 + x^{2} + y^{2} + y^{2} x^{2} | = e^{2 C}$ .

$| 1 + x^{2} + y^{2} + y^{2} x^{2} | = e^{2 C}$

Étape 5.10.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$1 + x^{2} + y^{2} + y^{2} x^{2} = \pm e^{2 C}$

Étape 5.10.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.10.3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + y^{2} + y^{2} x^{2} = \pm e^{2 C} - 1$

Étape 5.10.3.2

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} + y^{2} x^{2} = \pm e^{2 C} - 1 - x^{2}$

Étape 5.10.4

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} + y^{2} x^{2}$ .

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Étape 5.10.4.1

Multipliez par $1$ .

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} x^{2} = \pm e^{2 C} - 1 - x^{2}$

Étape 5.10.4.2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} x^{2}$ .

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x^{2}) = \pm e^{2 C} - 1 - x^{2}$

Étape 5.10.4.3

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x^{2})$ .

$y^{2} (1 + x^{2}) = \pm e^{2 C} - 1 - x^{2}$

Étape 5.10.5

Divisez chaque terme dans $y^{2} (1 + x^{2}) = \pm e^{2 C} - 1 - x^{2}$ par $1 + x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 5.10.5.1

Divisez chaque terme dans $y^{2} (1 + x^{2}) = \pm e^{2 C} - 1 - x^{2}$ par $1 + x^{2}$ .

$\frac{y^{2} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{\pm e^{2 C}}{1 + x^{2}} + \frac{- 1}{1 + x^{2}} + \frac{- x^{2}}{1 + x^{2}}$

Étape 5.10.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.10.5.2.1

Annulez le facteur commun de $1 + x^{2}$ .

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Étape 5.10.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{\pm e^{2 C}}{1 + x^{2}} + \frac{- 1}{1 + x^{2}} + \frac{- x^{2}}{1 + x^{2}}$

Étape 5.10.5.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C}}{1 + x^{2}} + \frac{- 1}{1 + x^{2}} + \frac{- x^{2}}{1 + x^{2}}$

Étape 5.10.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.10.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.10.5.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C}}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{- x^{2}}{1 + x^{2}}$

Étape 5.10.5.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C}}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$

Étape 5.10.5.3.2

Associez en une fraction.

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Étape 5.10.5.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C} - 1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$

Étape 5.10.5.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}}{1 + x^{2}}$

Étape 5.10.6

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}}{1 + x^{2}}}$

Étape 5.10.7

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}}{1 + x^{2}}}$ .

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Étape 5.10.7.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}}{1 + x^{2}}}$ comme $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 5.10.7.2

Multipliez $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 5.10.7.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.10.7.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 5.10.7.3.2

Élevez $\sqrt{1 + x^{2}}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 5.10.7.3.3

Élevez $\sqrt{1 + x^{2}}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}}$

Étape 5.10.7.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

Étape 5.10.7.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}$

Étape 5.10.7.3.6

Réécrivez ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ comme $1 + x^{2}$ .

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Étape 5.10.7.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + x^{2}}$ comme ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.10.7.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.10.7.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.10.7.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.10.7.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.10.7.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}}$

Étape 5.10.7.3.6.5

Simplifiez

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

Étape 5.10.7.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}) (1 + x^{2})}}{1 + x^{2}}$

Étape 6

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm \frac{\sqrt{(C - x^{2}) (1 + x^{2})}}{1 + x^{2}}$