Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = - 9 x^{8} e^{- x^{9}}$ , $y (0) = 2$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = - 9 x^{8} e^{- x^{9}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int - 9 x^{8} e^{- x^{9}} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int - 9 x^{8} e^{- x^{9}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 9$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - 9 \int x^{8} e^{- x^{9}} d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u_{2} = e^{- x^{9}}$ . Alors $d u_{2} = - 9 x^{8} e^{- x^{9}} d x$ , donc $- \frac{1}{9} d u_{2} = x^{8} e^{- x^{9}} d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u_{2} = e^{- x^{9}}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $e^{- x^{9}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{9}}]$

Étape 2.3.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x^{9}$ .

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Étape 2.3.2.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- x^{9}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{9}]$

Étape 2.3.2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{9}]$

Étape 2.3.2.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- x^{9}$ .

$e^{- x^{9}} \frac{d}{d x} [- x^{9}]$

Étape 2.3.2.1.3

Différenciez.

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Étape 2.3.2.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{9}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{9}]$ .

$e^{- x^{9}} (- \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Étape 2.3.2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 9$ .

$e^{- x^{9}} (- (9 x^{8}))$

Étape 2.3.2.1.3.3

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$e^{- x^{9}} (- 9 x^{8})$

Étape 2.3.2.1.4

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1.4.1

Réorganisez les facteurs de $e^{- x^{9}} (- 9 x^{8})$ .

$- 9 e^{- x^{9}} x^{8}$

Étape 2.3.2.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 9 e^{- x^{9}} x^{8}$ .

$- 9 x^{8} e^{- x^{9}}$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = - 9 \int \frac{1}{- 9} d u_{2}$

Étape 2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + C_{1} = - 9 \int - \frac{1}{9} d u_{2}$

Étape 2.3.4

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = - 9 (- \frac{1}{9} u_{2} + C_{2})$

Étape 2.3.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.5.1

Simplifiez

$y + C_{1} = - 9 (- \frac{1}{9} u_{2}) + C_{2}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez

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Étape 2.3.5.2.1

Associez $u_{2}$ et $\frac{1}{9}$ .

$y + C_{1} = - 9 (- \frac{u_{2}}{9}) + C_{2}$

Étape 2.3.5.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 9$ .

$y + C_{1} = 9 \frac{u_{2}}{9} + C_{2}$

Étape 2.3.5.2.3

Associez $9$ et $\frac{u_{2}}{9}$ .

$y + C_{1} = \frac{9 u_{2}}{9} + C_{2}$

Étape 2.3.5.2.4

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 2.3.5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{9 u_{2}}{9} + C_{2}$

Étape 2.3.5.2.4.2

Divisez $u_{2}$ par $1$ .

$y + C_{1} = u_{2} + C_{2}$

Étape 2.3.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $e^{- x^{9}}$ .

$y + C_{1} = e^{- x^{9}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = e^{- x^{9}} + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $2$ dans $y = e^{- x^{9}} + K$ .

$2 = e^{- 0^{9}} + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $e^{- 0^{9}} + K = 2$ .

$e^{- 0^{9}} + K = 2$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$e^{- 0} + K = 2$

Étape 4.2.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$e^{0} + K = 2$

Étape 4.2.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1 + K = 2$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$K = 2 - 1$

Étape 4.3.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$K = 1$

Étape 5

Remplacez $K$ par $1$ dans $y = e^{- x^{9}} + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $1$ .

$y = e^{- x^{9}} + 1$