Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + x = 8 y$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Soustrayez $8 y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} + x - 8 y = 0$

Étape 1.2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} - 8 y = - x$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - 8$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - 8 d x}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{- 8 x + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- 8 x}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{- 8 x}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{- 8 x}$ .

$e^{- 8 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 8 x} (- 8 y) = e^{- 8 x} (- x)$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- 8 x} \frac{d y}{d x} - 8 e^{- 8 x} y = e^{- 8 x} (- x)$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- 8 x} \frac{d y}{d x} - 8 e^{- 8 x} y = - e^{- 8 x} x$

Étape 3.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- 8 x} \frac{d y}{d x} - 8 e^{- 8 x} y = - e^{- 8 x} x$ .

$e^{- 8 x} \frac{d y}{d x} - 8 y e^{- 8 x} = - x e^{- 8 x}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{- 8 x} y] = - x e^{- 8 x}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 8 x} y] d x = \int - x e^{- 8 x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{- 8 x} y = \int - x e^{- 8 x} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 8 x} y = - \int x e^{- 8 x} d x$

Étape 7.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{- 8 x}$ .

$e^{- 8 x} y = - (x (- \frac{1}{8} e^{- 8 x}) - \int - \frac{1}{8} e^{- 8 x} d x)$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

Associez $e^{- 8 x}$ et $\frac{1}{8}$ .

$e^{- 8 x} y = - (x (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \int - \frac{1}{8} e^{- 8 x} d x)$

Étape 7.3.2

Associez $x$ et $\frac{e^{- 8 x}}{8}$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - \int - \frac{1}{8} e^{- 8 x} d x)$

Étape 7.3.3

Associez $e^{- 8 x}$ et $\frac{1}{8}$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - \int - \frac{e^{- 8 x}}{8} d x)$

Étape 7.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - - \int \frac{e^{- 8 x}}{8} d x)$

Étape 7.5

Simplifiez

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Étape 7.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + 1 \int \frac{e^{- 8 x}}{8} d x)$

Étape 7.5.2

Multipliez $\int \frac{e^{- 8 x}}{8} d x$ par $1$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \int \frac{e^{- 8 x}}{8} d x)$

Étape 7.6

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{1}{8} \int e^{- 8 x} d x)$

Étape 7.7

Laissez $u = - 8 x$ . Alors $d u = - 8 d x$ , donc $- \frac{1}{8} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.7.1

Laissez $u = - 8 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.7.1.1

Différenciez $- 8 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$

Étape 7.7.1.2

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 8 \cdot 1$

Étape 7.7.1.4

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$- 8$

Étape 7.7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{1}{8} \int e^{u} \frac{1}{- 8} d u)$

Étape 7.8

Simplifiez

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Étape 7.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{1}{8} \int e^{u} (- \frac{1}{8}) d u)$

Étape 7.8.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{8}$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{1}{8} \int - \frac{e^{u}}{8} d u)$

Étape 7.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{1}{8} (- \int \frac{e^{u}}{8} d u))$

Étape 7.10

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{1}{8} (- (\frac{1}{8} \int e^{u} d u)))$

Étape 7.11

Simplifiez

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Étape 7.11.1

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $\frac{1}{8}$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - \frac{1}{8 \cdot 8} \int e^{u} d u)$

Étape 7.11.2

Multipliez $8$ par $8$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - \frac{1}{64} \int e^{u} d u)$

Étape 7.12

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - \frac{1}{64} (e^{u} + C))$

Étape 7.13

Simplifiez

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Étape 7.13.1

Réécrivez $- (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - \frac{1}{64} (e^{u} + C))$ comme $- (- \frac{1}{8} x e^{- 8 x} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{1}{8} x e^{- 8 x} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$

Étape 7.13.2

Simplifiez

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Étape 7.13.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{8}$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x}{8} e^{- 8 x} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$

Étape 7.13.2.2

Associez $e^{- 8 x}$ et $\frac{x}{8}$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{e^{- 8 x} x}{8} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$

Étape 7.13.2.3

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{64}$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{e^{- 8 x} x}{8} - \frac{e^{u}}{64}) + C$

Étape 7.14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 8 x$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{e^{- 8 x} x}{8} - \frac{e^{- 8 x}}{64}) + C$

Étape 7.15

Simplifiez

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Étape 7.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{- 8 x} y = - - \frac{e^{- 8 x} x}{8} - - \frac{e^{- 8 x}}{64} + C$

Étape 7.15.2

Multipliez $- - \frac{e^{- 8 x} x}{8}$ .

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Étape 7.15.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{- 8 x} y = 1 \frac{e^{- 8 x} x}{8} - - \frac{e^{- 8 x}}{64} + C$

Étape 7.15.2.2

Multipliez $\frac{e^{- 8 x} x}{8}$ par $1$ .

$e^{- 8 x} y = \frac{e^{- 8 x} x}{8} - - \frac{e^{- 8 x}}{64} + C$

Étape 7.15.3

Multipliez $- - \frac{e^{- 8 x}}{64}$ .

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Étape 7.15.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{- 8 x} y = \frac{e^{- 8 x} x}{8} + 1 \frac{e^{- 8 x}}{64} + C$

Étape 7.15.3.2

Multipliez $\frac{e^{- 8 x}}{64}$ par $1$ .

$e^{- 8 x} y = \frac{e^{- 8 x} x}{8} + \frac{e^{- 8 x}}{64} + C$

Étape 7.15.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{e^{- 8 x} x}{8} + \frac{e^{- 8 x}}{64}$ .

$e^{- 8 x} y = \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{e^{- 8 x}}{64} + C$

Étape 7.16

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{- 8 x} y = \frac{1}{8} x e^{- 8 x} + \frac{1}{64} e^{- 8 x} + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $e^{- 8 x} y = \frac{1}{8} x e^{- 8 x} + \frac{1}{64} e^{- 8 x} + C$ par $e^{- 8 x}$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $e^{- 8 x} y = \frac{1}{8} x e^{- 8 x} + \frac{1}{64} e^{- 8 x} + C$ par $e^{- 8 x}$ .

$\frac{e^{- 8 x} y}{e^{- 8 x}} = \frac{\frac{1}{8} x e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{\frac{1}{64} e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{- 8 x}$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- 8 x} y}{e^{- 8 x}} = \frac{\frac{1}{8} x e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{\frac{1}{64} e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{8} x e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{\frac{1}{64} e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1.1

Annulez le facteur commun de $e^{- 8 x}$ .

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Étape 8.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\frac{1}{8} x e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{\frac{1}{64} e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Étape 8.3.1.1.2

Divisez $\frac{1}{8} x$ par $1$ .

$y = \frac{1}{8} x + \frac{\frac{1}{64} e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Étape 8.3.1.2

Annulez le facteur commun de $e^{- 8 x}$ .

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Étape 8.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{1}{8} x + \frac{\frac{1}{64} e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Étape 8.3.1.2.2

Divisez $\frac{1}{64}$ par $1$ .

$y = \frac{1}{8} x + \frac{1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Étape 8.3.2

Additionnez $\frac{1}{8} x$ et $\frac{1}{64}$ .

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Étape 8.3.2.1

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{8}$ et $x$ .

$y = x \frac{1}{8} + \frac{1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Étape 8.3.2.2

Pour écrire $x \frac{1}{8}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{64}{64}$ .

$y = x \frac{1}{8} \cdot \frac{64}{64} + \frac{1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Étape 8.3.2.3

Associez $x \frac{1}{8}$ et $\frac{64}{64}$ .

$y = \frac{x \frac{1}{8} \cdot 64}{64} + \frac{1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Étape 8.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x \frac{1}{8} \cdot 64 + 1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Étape 8.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.3.1

Associez $x$ et $\frac{1}{8}$ .

$y = \frac{\frac{x}{8} \cdot 64 + 1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Étape 8.3.3.2

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 8.3.3.2.1

Factorisez $8$ à partir de $64$ .

$y = \frac{\frac{x}{8} \cdot (8 (8)) + 1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Étape 8.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\frac{x}{8} \cdot (8 \cdot 8) + 1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Étape 8.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x \cdot 8 + 1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Étape 8.3.3.3

Déplacez $8$ à gauche de $x$ .

$y = \frac{8 x + 1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Étape 8.3.4

Pour écrire $\frac{8 x + 1}{64}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}}$ .

$y = \frac{8 x + 1}{64} \cdot \frac{e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Étape 8.3.5

Pour écrire $\frac{C}{e^{- 8 x}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{64}{64}$ .

$y = \frac{8 x + 1}{64} \cdot \frac{e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}} \cdot \frac{64}{64}$

Étape 8.3.6

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $64 e^{- 8 x}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.3.6.1

Multipliez $\frac{8 x + 1}{64}$ par $\frac{e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}}$ .

$y = \frac{(8 x + 1) e^{- 8 x}}{64 e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}} \cdot \frac{64}{64}$

Étape 8.3.6.2

Multipliez $\frac{C}{e^{- 8 x}}$ par $\frac{64}{64}$ .

$y = \frac{(8 x + 1) e^{- 8 x}}{64 e^{- 8 x}} + \frac{C \cdot 64}{e^{- 8 x} \cdot 64}$

Étape 8.3.6.3

Réorganisez les facteurs de $e^{- 8 x} \cdot 64$ .

$y = \frac{(8 x + 1) e^{- 8 x}}{64 e^{- 8 x}} + \frac{C \cdot 64}{64 e^{- 8 x}}$

Étape 8.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{(8 x + 1) e^{- 8 x} + C \cdot 64}{64 e^{- 8 x}}$

Étape 8.3.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{8 x e^{- 8 x} + 1 e^{- 8 x} + C \cdot 64}{64 e^{- 8 x}}$

Étape 8.3.8.2

Multipliez $e^{- 8 x}$ par $1$ .

$y = \frac{8 x e^{- 8 x} + e^{- 8 x} + C \cdot 64}{64 e^{- 8 x}}$

Étape 8.3.8.3

Déplacez $64$ à gauche de $C$ .

$y = \frac{8 x e^{- 8 x} + e^{- 8 x} + 64 C}{64 e^{- 8 x}}$