Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \csc (x)$ , $y (4) = - 5$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = \csc (x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \csc (x) d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \csc (x) d x$

Étape 2.3

L’intégrale de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$y = \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $4$ et $y$ par $- 5$ dans $y = \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C$ .

$- 5 = \ln (| \csc (4) - \cot (4) |) + C$

Étape 4

Résolvez $C$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\ln (| \csc (4) - \cot (4) |) + C = - 5$ .

$\ln (| \csc (4) - \cot (4) |) + C = - 5$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1.1

Évaluez $\csc (4)$ .

$\ln (| 14.33558702 - \cot (4) |) + C = - 5$

Étape 4.2.1.1.2

Évaluez $\cot (4)$ .

$\ln (| 14.33558702 - 1 \cdot 14.30066625 |) + C = - 5$

Étape 4.2.1.1.3

Multipliez $- 1$ par $14.30066625$ .

$\ln (| 14.33558702 - 14.30066625 |) + C = - 5$

Étape 4.2.1.2

Soustrayez $14.30066625$ de $14.33558702$ .

$\ln (| 0.03492076 |) + C = - 5$

Étape 4.2.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $0.03492076$ est $0.03492076$ .

$\ln (0.03492076) + C = - 5$

Étape 4.3

Soustrayez $\ln (0.03492076)$ des deux côtés de l’équation.

$C = - 5 - \ln (0.03492076)$

Étape 5

Remplacez $C$ par $- 5 - \ln (0.03492076)$ dans $y = \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $C$ par $- 5 - \ln (0.03492076)$ .

$y = \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) - 5 - \ln (0.03492076)$

Étape 5.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$y = \ln (\frac{| \csc (x) - \cot (x) |}{0.03492076}) - 5$

Étape 5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1

Multipliez par $1$ .

$y = \ln (\frac{1 | \csc (x) - \cot (x) |}{0.03492076}) - 5$

Étape 5.3.2

Factorisez $0.03492076$ à partir de $0.03492076$ .

$y = \ln (\frac{1 | \csc (x) - \cot (x) |}{0.03492076 (1)}) - 5$

Étape 5.3.3

Séparez les fractions.

$y = \ln (\frac{1}{0.03492076} \cdot \frac{| \csc (x) - \cot (x) |}{1}) - 5$

Étape 5.3.4

Divisez $1$ par $0.03492076$ .

$y = \ln (28.63625328 \frac{| \csc (x) - \cot (x) |}{1}) - 5$

Étape 5.3.5

Divisez $| \csc (x) - \cot (x) |$ par $1$ .

$y = \ln (28.63625328 | \csc (x) - \cot (x) |) - 5$