Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 2 - 0.02 y$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{2 - 0.02 y}$ .

$\frac{1}{2 - 0.02 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - 0.02 y} (2 - 0.02 y)$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $2 - 0.02 y$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 - 0.02 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - 0.02 y} (2 - 0.02 y)$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 - 0.02 y} \frac{d y}{d x} = 1$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{2 - 0.02 y} d y = 1 d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{2 - 0.02 y} d y = \int d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = 2 - 0.02 y$ . Alors $d u = - 0.02 d y$ , donc $\frac{1}{- 0.02} d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = 2 - 0.02 y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 0.02}{1}$

Étape 2.2.1.1.2

Divisez $- 0.02$ par $1$ .

$- 0.02$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{- 50}{u} d u = \int d x$

Étape 2.2.2

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int - \frac{50}{u} d u = \int d x$

Étape 2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{50}{u} d u = \int d x$

Étape 2.2.4

Comme $50$ est constant par rapport à $u$ , placez $50$ en dehors de l’intégrale.

$- (50 \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

Étape 2.2.5

Multipliez $50$ par $- 1$ .

$- 50 \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Étape 2.2.6

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- 50 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

Étape 2.2.7

Simplifiez

$- 50 \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Étape 2.2.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 - 0.02 y$ .

$- 50 \ln (| 2 - 0.02 y |) + C_{1} = \int d x$

Étape 2.3

Appliquez la règle de la constante.

$- 50 \ln (| 2 - 0.02 y |) + C_{1} = x + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- 50 \ln (| 2 - 0.02 y |) = x + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $- 50 \ln (| 2 - 0.02 y |) = x + C$ par $- 50$ et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $- 50 \ln (| 2 - 0.02 y |) = x + C$ par $- 50$ .

$\frac{- 50 \ln (| 2 - 0.02 y |)}{- 50} = \frac{x}{- 50} + \frac{C}{- 50}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $- 50$ .

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Étape 3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 50 \ln (| 2 - 0.02 y |)}{- 50} = \frac{x}{- 50} + \frac{C}{- 50}$

Étape 3.1.2.1.2

Divisez $\ln (| 2 - 0.02 y |)$ par $1$ .

$\ln (| 2 - 0.02 y |) = \frac{x}{- 50} + \frac{C}{- 50}$

Étape 3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (| 2 - 0.02 y |) = - \frac{x}{50} + \frac{C}{- 50}$

Étape 3.1.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (| 2 - 0.02 y |) = - \frac{x}{50} - \frac{C}{50}$

Étape 3.2

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| 2 - 0.02 y |)} = e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}}$

Étape 3.3

Réécrivez $\ln (| 2 - 0.02 y |) = - \frac{x}{50} - \frac{C}{50}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}} = | 2 - 0.02 y |$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’équation comme $| 2 - 0.02 y | = e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}}$ .

$| 2 - 0.02 y | = e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}}$

Étape 3.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$2 - 0.02 y = \pm e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}}$

Étape 3.4.3

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- 0.02 y = \pm e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}} - 2$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $- 0.02 y = \pm e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}} - 2$ par $- 0.02$ et simplifiez.

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Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $- 0.02 y = \pm e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}} - 2$ par $- 0.02$ .

$\frac{- 0.02 y}{- 0.02} = \frac{\pm e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}}}{- 0.02} + \frac{- 2}{- 0.02}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 0.02$ .

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Étape 3.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 0.02 y}{- 0.02} = \frac{\pm e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}}}{- 0.02} + \frac{- 2}{- 0.02}$

Étape 3.4.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}}}{- 0.02} + \frac{- 2}{- 0.02}$

Étape 3.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.4.3.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\pm e^{\frac{- x - C}{50}}}{- 0.02} + \frac{- 2}{- 0.02}$

Étape 3.4.4.3.1.2

Simplifiez $\frac{\pm e^{\frac{- x - C}{50}}}{- 0.02}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{- x - C}{50}}}{0.02} + \frac{- 2}{- 0.02}$

Étape 3.4.4.3.1.3

Multipliez par $1$ .

$y = \frac{1 (\pm e^{\frac{- x - C}{50}})}{0.02} + \frac{- 2}{- 0.02}$

Étape 3.4.4.3.1.4

Factorisez $0.02$ à partir de $0.02$ .

$y = \frac{1 (\pm e^{\frac{- x - C}{50}})}{0.02 (1)} + \frac{- 2}{- 0.02}$

Étape 3.4.4.3.1.5

Séparez les fractions.

$y = \frac{1}{0.02} \cdot \frac{\pm e^{\frac{- x - C}{50}}}{1} + \frac{- 2}{- 0.02}$

Étape 3.4.4.3.1.6

Divisez $1$ par $0.02$ .

$y = 50 \frac{\pm e^{\frac{- x - C}{50}}}{1} + \frac{- 2}{- 0.02}$

Étape 3.4.4.3.1.7

Divisez $\pm e^{\frac{- x - C}{50}}$ par $1$ .

$y = 50 (\pm e^{\frac{- x - C}{50}}) + \frac{- 2}{- 0.02}$

Étape 3.4.4.3.1.8

Divisez $- 2$ par $- 0.02$ .

$y = 50 (\pm e^{\frac{- x - C}{50}}) + 100$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = 50 (\pm e^{\frac{- x + C}{50}}) + 100$