Calcul infinitésimal Exemples

$4 e^{4 y} \frac{d y}{d x} = 2 x e^{3 x} + 3 e^{4 y}$

Étape 1

Laissez $v = e^{4 y}$ . Remplacez toutes les occurrences de $e^{4 y}$ par $v$ .

$4 v \frac{d y}{d x} = 2 x e^{3 x} + 3 v$

Étape 2

Déterminez $\frac{d v}{d x}$ en différenciant $e^{4 y}$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 4 y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 y]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [4 y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{4 y} \frac{d}{d x} [4 y]$

Étape 2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 y$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{4 y} (4 \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{4 y} (4 y')$

Étape 2.4

Réorganisez les facteurs de $e^{4 y} (4 y')$ .

$\frac{d v}{d x} = 4 e^{4 y} y'$

Étape 3

Remplacez $e^{4 y}$ par $v$ .

$\frac{d v}{d x} = 4 v y'$

Étape 4

Remplacez à nouveau la dérivée dans l’équation différentielle.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$4 v \frac{\frac{d v}{d x}}{4 v} = 2 x e^{3 x} + 3 v$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d x} = 2 x e^{3 x} + 3 v$

Étape 5

Soustrayez $3 v$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d v}{d x} - 3 v = 2 x e^{3 x}$

Étape 6

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - 3$ .

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Étape 6.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - 3 d x}$

Étape 6.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{- 3 x + C}$

Étape 6.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- 3 x}$

Étape 7

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{- 3 x}$ .

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Étape 7.1

Multipliez chaque terme par $e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} + e^{- 3 x} (- 3 v) = e^{- 3 x} (2 x e^{3 x})$

Étape 7.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = e^{- 3 x} (2 x e^{3 x})$

Étape 7.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 e^{- 3 x} (x e^{3 x})$

Étape 7.4

Multipliez $e^{- 3 x}$ par $e^{3 x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.4.1

Déplacez $e^{3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 (e^{3 x} e^{- 3 x}) x$

Étape 7.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 e^{3 x - 3 x} x$

Étape 7.4.3

Soustrayez $3 x$ de $3 x$ .

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 e^{0} x$

Étape 7.5

Simplifiez $2 e^{0} x$ .

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 x$

Étape 7.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 x$ .

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 v e^{- 3 x} = 2 x$

Étape 8

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x} v] = 2 x$

Étape 9

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} v] d x = \int 2 x d x$

Étape 10

Intégrez le côté gauche.

$e^{- 3 x} v = \int 2 x d x$

Étape 11

Intégrez le côté droit.

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Étape 11.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 3 x} v = 2 \int x d x$

Étape 11.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- 3 x} v = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 11.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.3.1

Réécrivez $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ comme $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{- 3 x} v = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Étape 11.3.2

Simplifiez

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Étape 11.3.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 3 x} v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Étape 11.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{- 3 x} v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Étape 11.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{- 3 x} v = 1 x^{2} + C$

Étape 11.3.2.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$e^{- 3 x} v = x^{2} + C$

Étape 12

Divisez chaque terme dans $e^{- 3 x} v = x^{2} + C$ par $e^{- 3 x}$ et simplifiez.

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Étape 12.1

Divisez chaque terme dans $e^{- 3 x} v = x^{2} + C$ par $e^{- 3 x}$ .

$\frac{e^{- 3 x} v}{e^{- 3 x}} = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Étape 12.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{- 3 x}$ .

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Étape 12.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- 3 x} v}{e^{- 3 x}} = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Étape 12.2.1.2

Divisez $v$ par $1$ .

$v = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Étape 13

Remplacez toutes les occurrences de $v$ par $e^{4 y}$ .

$e^{4 y} = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Étape 14

Résolvez $y$ .

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Étape 14.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{4 y}) = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

Étape 14.2

Développez le côté gauche.

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Étape 14.2.1

Développez $\ln (e^{4 y})$ en déplaçant $4 y$ hors du logarithme.

$4 y \ln (e) = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

Étape 14.2.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$4 y \cdot 1 = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

Étape 14.2.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 y = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

Étape 14.3

Divisez chaque terme dans $4 y = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 14.3.1

Divisez chaque terme dans $4 y = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$ par $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{\ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})}{4}$

Étape 14.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 14.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 14.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y}{4} = \frac{\ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})}{4}$

Étape 14.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})}{4}$