Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 4 \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = 4 \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 4 \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int 4 \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 4 \int \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u_{3} = \cos (e^{2 x})$ . Alors $d u_{3} = - 2 e^{2 x} \sin (e^{2 x}) d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u_{3} = e^{2 x} \sin (e^{2 x}) d x$ . Réécrivez avec $u_{3}$ et $d$ $u_{3}$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u_{3} = \cos (e^{2 x})$ . Déterminez $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $\cos (e^{2 x})$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (e^{2 x})]$

Étape 2.3.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = e^{2 x}$ .

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Étape 2.3.2.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Étape 2.3.2.1.2.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Étape 2.3.2.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $e^{2 x}$ .

$- \sin (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Étape 2.3.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.3.2.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$- \sin (e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.3.2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- \sin (e^{2 x}) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.3.2.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$- \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.3.2.1.4

Différenciez.

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Étape 2.3.2.1.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.3.2.1.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.3.2.1.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} \cdot 1)$

Étape 2.3.2.1.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.2.1.4.4.1

Multipliez $e^{2 x}$ par $1$ .

$- 2 \sin (e^{2 x}) e^{2 x}$

Étape 2.3.2.1.4.4.2

Réorganisez les facteurs de $- 2 \sin (e^{2 x}) e^{2 x}$ .

$- 2 e^{2 x} \sin (e^{2 x})$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{3}$ et $d u_{3}$ .

$y + C_{1} = 4 \int u_{3} \frac{1}{- 2} d u_{3}$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + C_{1} = 4 \int u_{3} (- \frac{1}{2}) d u_{3}$

Étape 2.3.3.2

Associez $u_{3}$ et $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 4 \int - \frac{u_{3}}{2} d u_{3}$

Étape 2.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 4 (- \int \frac{u_{3}}{2} d u_{3})$

Étape 2.3.5

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{u_{3}}{2} d u_{3}$

Étape 2.3.6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \int u_{3} d u_{3})$

Étape 2.3.7

Simplifiez

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Étape 2.3.7.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{- 4}{2} \int u_{3} d u_{3}$

Étape 2.3.7.2

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 2.3.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int u_{3} d u_{3}$

Étape 2.3.7.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.7.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int u_{3} d u_{3}$

Étape 2.3.7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int u_{3} d u_{3}$

Étape 2.3.7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int u_{3} d u_{3}$

Étape 2.3.7.2.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$y + C_{1} = - 2 \int u_{3} d u_{3}$

Étape 2.3.8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u_{3}$ par rapport à $u_{3}$ est $\frac{1}{2} {u_{3}}^{2}$ .

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C_{2})$

Étape 2.3.9

Simplifiez

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Étape 2.3.9.1

Réécrivez $- 2 (\frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C_{2})$ comme $- 2 (\frac{1}{2}) {u_{3}}^{2} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2}) {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.9.2

Simplifiez

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Étape 2.3.9.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 2}{2} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.9.2.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 2.3.9.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.9.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.9.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.9.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.9.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = \frac{- 1}{1} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.9.2.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$y + C_{1} = - {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.10

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $\cos (e^{2 x})$ .

$y + C_{1} = - \cos^{2} (e^{2 x}) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = - \cos^{2} (e^{2 x}) + K$