Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y (1 + x^{2})}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{y}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{2}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{y})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$ par $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2}}{(1 + x^{2}) y}$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $(1 + x^{2}) y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2}}{y (1 + x^{2})}$

Étape 1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2}}{y (1 + x^{2})}$

Étape 1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$y d y = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Remettez dans l’ordre $1$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.3.2

Divisez $x^{2}$ par $x^{2} + 1$ .

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Étape 2.3.2.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Étape 2.3.2.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Étape 2.3.2.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

Étape 2.3.2.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} + 0 + 1$

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

Étape 2.3.2.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

Étape 2.3.2.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.3.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.3.4

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.6.1

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.3.6.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Étape 2.3.7

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\arctan (x) + C_{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - (\arctan (x) + C_{3})$

Étape 2.3.8

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x - \arctan (x) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = x - \arctan (x) + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (x - \arctan (x) + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x - \arctan (x) + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x - \arctan (x) + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (x - \arctan (x) + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (x - \arctan (x) + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 x + 2 (- \arctan (x)) + 2 K$

Étape 3.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y^{2} = 2 x - 2 \arctan (x) + 2 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{2 x - 2 \arctan (x) + 2 K}$

Étape 3.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x - 2 \arctan (x) + 2 K$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x) - 2 \arctan (x) + 2 K}$

Étape 3.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \arctan (x)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x) + 2 (- \arctan (x)) + 2 K}$

Étape 3.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x) + 2 (- \arctan (x)) + 2 K}$

Étape 3.4.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (- \arctan (x))$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x - \arctan (x)) + 2 K}$

Étape 3.4.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x - \arctan (x)) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

Étape 3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

Étape 3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

Étape 3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$