Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = x$

Étape 1

intégrez les deux côtés par rapport à $x$ .

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Étape 1.1

La dérivée première est égale à l’intégrale de la dérivée seconde par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int x d x$

Étape 1.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{1}$

Étape 2

Réécrivez l’équation.

$d y = (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1}) d x$

Étape 3

Intégrez les deux côtés.

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Étape 3.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \frac{1}{2} x^{2} + C_{1} d x$

Étape 3.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{2} = \int \frac{1}{2} x^{2} + C_{1} d x$

Étape 3.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{2} = \int \frac{1}{2} x^{2} d x + \int C_{1} d x$

Étape 3.3.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{2} = \frac{1}{2} \int x^{2} d x + \int C_{1} d x$

Étape 3.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int C_{1} d x$

Étape 3.3.4

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{2} = \frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Étape 3.3.5

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Étape 3.3.5.1

Simplifiez

$y + C_{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{1} x + C_{5}$

Étape 3.3.5.2

Simplifiez

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Étape 3.3.5.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{2 \cdot 3} x^{3} + C_{1} x + C_{5}$

Étape 3.3.5.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{6} x^{3} + C_{1} x + C_{5}$

Étape 3.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $D$ .

$y = \frac{1}{6} x^{3} + C x + D$