Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = x^{3} - 2 x y$

Étape 1

Ajoutez $2 x y$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{3}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = 2 x$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int 2 x d x}$

Étape 2.2

Intégrez $2 x$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 \int x d x}$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Étape 2.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.2.3.1

Réécrivez $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ comme $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.2.3.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Étape 2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Étape 2.2.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{1 x^{2} + C}$

Étape 2.2.3.2.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$e^{x^{2} + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{x^{2}}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{x^{2}}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (2 x y) = e^{x^{2}} x^{3}$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} x^{3}$

Étape 3.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} x^{3}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = x^{3} e^{x^{2}}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = x^{3} e^{x^{2}}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int x^{3} e^{x^{2}} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{x^{2}} y = \int x^{3} e^{x^{2}} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Laissez $u = x^{2}$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.1.1

Laissez $u = x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.1.1.1

Différenciez $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 7.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x$

Étape 7.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{x^{2}} y = \int u e^{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $u$ .

$e^{x^{2}} y = \int \frac{u}{2} e^{u} d u$

Étape 7.2.2

Associez $\frac{u}{2}$ et $e^{u}$ .

$e^{x^{2}} y = \int \frac{u e^{u}}{2} d u$

Étape 7.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} \int u e^{u} d u$

Étape 7.4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int w d v = w v - \int v d w$ , où $w = u$ et $dv = e^{u}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Étape 7.5

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Étape 7.6

Simplifiez

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} (u e^{u} - e^{u}) + C$

Étape 7.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}}) + C$

Étape 7.8

Simplifiez

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Étape 7.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}}) + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

Étape 7.8.2

Multipliez $\frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}})$ .

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Étape 7.8.2.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{x^{2}}{2} e^{x^{2}} + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

Étape 7.8.2.2

Associez $\frac{x^{2}}{2}$ et $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

Étape 7.8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} - \frac{e^{x^{2}}}{2} + C$

Étape 7.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$ par $e^{x^{2}}$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$ par $e^{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{x^{2}}$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1.1

Annulez le facteur commun de $e^{x^{2}}$ .

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Étape 8.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Étape 8.3.1.1.2

Divisez $\frac{1}{2} x^{2}$ par $1$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Étape 8.3.1.2

Annulez le facteur commun de $e^{x^{2}}$ .

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Étape 8.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Étape 8.3.1.2.2

Divisez $- \frac{1}{2}$ par $1$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Étape 8.3.2

Soustrayez $\frac{1}{2}$ de $\frac{1}{2} x^{2}$ .

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Étape 8.3.2.1

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$y = x^{2} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Étape 8.3.2.2

Pour écrire $x^{2} \frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = x^{2} \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Étape 8.3.2.3

Associez $x^{2} \frac{1}{2}$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2} \frac{1}{2} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Étape 8.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x^{2} \frac{1}{2} \cdot 2 - 1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Étape 8.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.3.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2} \cdot 2 - 1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Étape 8.3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2} \cdot 2 - 1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Étape 8.3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{2} - 1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Étape 8.3.3.3

Réécrivez $x^{2} - 1$ en forme factorisée.

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Étape 8.3.3.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \frac{x^{2} - 1^{2}}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Étape 8.3.3.3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$y = \frac{(x + 1) (x - 1)}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Étape 8.3.4

Pour écrire $\frac{(x + 1) (x - 1)}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}}$ .

$y = \frac{(x + 1) (x - 1)}{2} \cdot \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Étape 8.3.5

Pour écrire $\frac{C}{e^{x^{2}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{(x + 1) (x - 1)}{2} \cdot \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 8.3.6

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $2 e^{x^{2}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.3.6.1

Multipliez $\frac{(x + 1) (x - 1)}{2}$ par $\frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}}$ .

$y = \frac{(x + 1) (x - 1) e^{x^{2}}}{2 e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 8.3.6.2

Multipliez $\frac{C}{e^{x^{2}}}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{(x + 1) (x - 1) e^{x^{2}}}{2 e^{x^{2}}} + \frac{C \cdot 2}{e^{x^{2}} \cdot 2}$

Étape 8.3.6.3

Réorganisez les facteurs de $e^{x^{2}} \cdot 2$ .

$y = \frac{(x + 1) (x - 1) e^{x^{2}}}{2 e^{x^{2}}} + \frac{C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Étape 8.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{(x + 1) (x - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Étape 8.3.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.8.1

Développez $(x + 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 8.3.8.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{(x (x - 1) + 1 (x - 1)) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Étape 8.3.8.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Étape 8.3.8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Étape 8.3.8.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 8.3.8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.8.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{(x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Étape 8.3.8.2.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$y = \frac{(x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Étape 8.3.8.2.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y = \frac{(x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Étape 8.3.8.2.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$y = \frac{(x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Étape 8.3.8.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = \frac{(x^{2} - x + x - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Étape 8.3.8.2.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$y = \frac{(x^{2} + 0 - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Étape 8.3.8.2.3

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$y = \frac{(x^{2} - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Étape 8.3.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{x^{2} e^{x^{2}} - 1 e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Étape 8.3.8.4

Réécrivez $- 1 e^{x^{2}}$ comme $- e^{x^{2}}$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Étape 8.3.8.5

Déplacez $2$ à gauche de $C$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}} + 2 C}{2 e^{x^{2}}}$