Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 x$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (x^{2} + 2 x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int x^{2} + 2 x d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int x^{2} + 2 x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int x^{2} d x + \int 2 x d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int 2 x d x$

Étape 2.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 2 \int x d x$

Étape 2.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Simplifiez

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez

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Étape 2.3.5.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + 1 x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + K$