Calcul infinitésimal Exemples

$y (\frac{d^{2} x}{d y^{2}}) = y^{2} + 1$

Étape 1

Supposez que toutes les solutions sont de la forme $x = e^{r y}$ .

Étape 2

Déterminez l’équation caractéristique pour $y \frac{d^{2} x}{d y^{2}} = y^{2} + 1$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

$\frac{d x}{d y} = r e^{r y}$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

$\frac{d^{2} x}{d y^{2}} = r^{2} e^{r y}$

Étape 2.3

Remplacez dans l’équation différentielle.

$y (r^{2} e^{r y}) = y^{2} + 1$

Étape 2.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $y (r^{2} e^{r y})$ .

$y r^{2} e^{r y} = y^{2} + 1$

Étape 2.5

Factorisez $e^{r y}$ à partir de $y r^{2} e^{r y}$ .

$e^{r y} (y r^{2}) = y^{2} + 1$

Étape 2.6

Comme les exponentielles ne peuvent jamais être nulles, divisez les deux côtés par $e^{r y}$ .

$y r^{2} = y^{2} + 1$

Étape 3

Résolvez $r$ .

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $y r^{2} = y^{2} + 1$ par $y$ et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $y r^{2} = y^{2} + 1$ par $y$ .

$\frac{y r^{2}}{y} = \frac{y^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y r^{2}}{y} = \frac{y^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

Étape 3.1.2.1.2

Divisez $r^{2}$ par $1$ .

$r^{2} = \frac{y^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

Étape 3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.3.1

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 3.1.3.1.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$r^{2} = \frac{y \cdot y}{y} + \frac{1}{y}$

Étape 3.1.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.3.1.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$r^{2} = \frac{y \cdot y}{y^{1}} + \frac{1}{y}$

Étape 3.1.3.1.2.2

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$r^{2} = \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} + \frac{1}{y}$

Étape 3.1.3.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$r^{2} = \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} + \frac{1}{y}$

Étape 3.1.3.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$r^{2} = \frac{y}{1} + \frac{1}{y}$

Étape 3.1.3.1.2.5

Divisez $y$ par $1$ .

$r^{2} = y + \frac{1}{y}$

Étape 3.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$r = \pm \sqrt{y + \frac{1}{y}}$

Étape 3.3

Simplifiez $\pm \sqrt{y + \frac{1}{y}}$ .

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Étape 3.3.1

Pour écrire $y$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$r = \pm \sqrt{\frac{y \cdot y}{y} + \frac{1}{y}}$

Étape 3.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$r = \pm \sqrt{\frac{y \cdot y + 1}{y}}$

Étape 3.3.3

Multipliez $y$ par $y$ .

$r = \pm \sqrt{\frac{y^{2} + 1}{y}}$

Étape 3.3.4

Réécrivez $\sqrt{\frac{y^{2} + 1}{y}}$ comme $\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}}$

Étape 3.3.5

Multipliez $\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}}$ par $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$

Étape 3.3.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.6.1

Multipliez $\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}}$ par $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}}$

Étape 3.3.6.2

Élevez $\sqrt{y}$ à la puissance $1$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}}$

Étape 3.3.6.3

Élevez $\sqrt{y}$ à la puissance $1$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}}$

Étape 3.3.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}}$

Étape 3.3.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}}$

Étape 3.3.6.6

Réécrivez ${\sqrt{y}}^{2}$ comme $y$ .

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Étape 3.3.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.3.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.3.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.3.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.3.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y^{1}}$

Étape 3.3.6.6.5

Simplifiez

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y}$

Étape 3.3.7

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$r = \pm \frac{\sqrt{(y^{2} + 1) y}}{y}$

Étape 3.3.8

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm \frac{\sqrt{(y^{2} + 1) y}}{y}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

Étape 3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$r = \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

Étape 3.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$r = - \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

Étape 3.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$r = \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = - \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = - \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = - \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

Étape 4

Les deux valeurs déterminées de $r$ permettent de construire deux solutions.

$x_{1} = e^{\frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

$x_{2} = e^{- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

Étape 5

D’après le principe de superposition, la solution générale est une combinaison linéaire des deux solutions pour une équation différentielle linéaire homogène du second ordre.

$x = c_{1} e^{\frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y} + c_{2} e^{- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 6.1.1

Annulez le facteur commun.

$x = c_{1} e^{\frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y} + c_{2} e^{- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

Étape 6.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = c_{1} e^{\sqrt{y (y^{2} + 1)}} + c_{2} e^{- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 6.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$ dans le numérateur.

$x = c_{1} e^{\sqrt{y (y^{2} + 1)}} + c_{2} e^{\frac{- \sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = c_{1} e^{\sqrt{y (y^{2} + 1)}} + c_{2} e^{\frac{- \sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

Étape 6.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = c_{1} e^{\sqrt{y (y^{2} + 1)}} + c_{2} e^{- \sqrt{y (y^{2} + 1)}}$