Calcul infinitésimal Exemples

$x (1 + x^{2}) d x + y (1 + y^{2}) d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $x (1 + x^{2}) d x$ des deux côtés de l’équation.

$y (1 + y^{2}) d y = - x (1 + x^{2}) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y (1 + y^{2}) d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int y \cdot 1 + y \cdot y^{2} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Étape 2.2.1.2

Remettez dans l’ordre $y$ et $1$ .

$\int 1 \cdot y + y \cdot y^{2} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$\int y + y \cdot y^{2} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Étape 2.2.1.4

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\int y + y^{1} y^{2} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Étape 2.2.1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int y + y^{1 + 2} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Étape 2.2.1.6

Additionnez $1$ et $2$ .

$\int y + y^{3} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Étape 2.2.1.7

Remettez dans l’ordre $y$ et $y^{3}$ .

$\int y^{3} + y d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Étape 2.2.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int y^{3} d y + \int y d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Étape 2.2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{3}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + \int y d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Étape 2.2.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u = 1 + x^{2}$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u = 1 + x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Étape 2.3.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.1.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Étape 2.3.1.1.5

Additionnez $0$ et $2 x$ .

$2 x$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int - u \frac{1}{2} d u$

Étape 2.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $u$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int - \frac{u}{2} d u$

Étape 2.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \int \frac{u}{2} d u$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - (\frac{1}{2} \int u d u)$

Étape 2.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{4})$

Étape 2.3.6

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Étape 2.3.6.1

Réécrivez $- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{4})$ comme $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2

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Étape 2.3.6.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{2 \cdot 2} u^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{4} u^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{4} {(1 + x^{2})}^{2} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{4} {(1 + x^{2})}^{2} + K$