Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d r}{d θ} = \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ)$ , $r (\frac{π}{4}) = 3$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d r = \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ) d θ$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d r = \int \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ) d θ$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$r + C_{1} = \int \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ) d θ$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u_{2} = \csc (7 θ)$ . Alors $d u_{2} = - 7 \cot (7 θ) \csc (7 θ) d θ$ , donc $- \frac{1}{7} d u_{2} = \cot (7 θ) \csc (7 θ) d θ$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u_{2} = \csc (7 θ)$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d θ}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $\csc (7 θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\csc (7 θ)]$

Étape 2.3.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ est $f' (g (θ)) g' (θ)$ où $f (θ) = \csc (θ)$ et $g (θ) = 7 θ$ .

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Étape 2.3.1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $7 θ$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d θ} [7 θ]$

Étape 2.3.1.1.2.2

La dérivée de $\csc (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d θ} [7 θ]$

Étape 2.3.1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $7 θ$ .

$- \csc (7 θ) \cot (7 θ) \frac{d}{d θ} [7 θ]$

Étape 2.3.1.1.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1.1.3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $7 θ$ par rapport à $θ$ est $7 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$- \csc (7 θ) \cot (7 θ) (7 \frac{d}{d θ} [θ])$

Étape 2.3.1.1.3.2

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ) \frac{d}{d θ} [θ]$

Étape 2.3.1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ est $n θ^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ) \cdot 1$

Étape 2.3.1.1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.1.1.3.4.1

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ)$

Étape 2.3.1.1.3.4.2

Réorganisez les facteurs de $- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ)$ .

$- 7 \cot (7 θ) \csc (7 θ)$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$r + C_{1} = \int u_{2} \frac{1}{- 7} d u_{2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$r + C_{1} = \int u_{2} (- \frac{1}{7}) d u_{2}$

Étape 2.3.2.2

Associez $u_{2}$ et $\frac{1}{7}$ .

$r + C_{1} = \int - \frac{u_{2}}{7} d u_{2}$

Étape 2.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$r + C_{1} = - \int \frac{u_{2}}{7} d u_{2}$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{7}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{7}$ en dehors de l’intégrale.

$r + C_{1} = - (\frac{1}{7} \int u_{2} d u_{2})$

Étape 2.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u_{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$r + C_{1} = - \frac{1}{7} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

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Étape 2.3.6.1

Réécrivez $- \frac{1}{7} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2})$ comme $- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2}$ .

$r + C_{1} = - \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.6.2

Simplifiez

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Étape 2.3.6.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{7}$ .

$r + C_{1} = - \frac{1}{2 \cdot 7} {u_{2}}^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.6.2.2

Multipliez $2$ par $7$ .

$r + C_{1} = - \frac{1}{14} {u_{2}}^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.7

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\csc (7 θ)$ .

$r + C_{1} = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $θ$ par $\frac{π}{4}$ et $r$ par $3$ dans $r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + K$ .

$3 = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 \frac{π}{4}) + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{1}{14} \cdot \csc^{2} (7 (\frac{π}{4})) + K = 3$ .

$- \frac{1}{14} \cdot \csc^{2} (7 (\frac{π}{4})) + K = 3$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Associez $7$ et $\frac{π}{4}$ .

$- \frac{1}{14} \cdot \csc^{2} (\frac{7 π}{4}) + K = 3$

Étape 4.2.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la cosécante est négative dans le quatrième quadrant.

$- \frac{1}{14} \cdot {(- \csc (\frac{π}{4}))}^{2} + K = 3$

Étape 4.2.1.3

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{4})$ est $\sqrt{2}$ .

$- \frac{1}{14} \cdot {(- \sqrt{2})}^{2} + K = 3$

Étape 4.2.1.4

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{2}$ .

$- \frac{1}{14} \cdot ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + K = 3$

Étape 4.2.1.5

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1.5.1

Déplacez ${(- 1)}^{2}$ .

${(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

Étape 4.2.1.5.2

Multipliez ${(- 1)}^{2}$ par $- 1$ .

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Étape 4.2.1.5.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

${(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

Étape 4.2.1.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(- 1)}^{2 + 1} \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

Étape 4.2.1.5.3

Additionnez $2$ et $1$ .

${(- 1)}^{3} \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

Étape 4.2.1.6

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

Étape 4.2.1.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.2.1.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{14} \cdot {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + K = 3$

Étape 4.2.1.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + K = 3$

Étape 4.2.1.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{\frac{2}{2}} + K = 3$

Étape 4.2.1.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{\frac{2}{2}} + K = 3$

Étape 4.2.1.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{1} + K = 3$

Étape 4.2.1.7.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{1}{14} \cdot 2 + K = 3$

Étape 4.2.1.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.8.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{14}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{14} \cdot 2 + K = 3$

Étape 4.2.1.8.2

Factorisez $2$ à partir de $14$ .

$\frac{- 1}{2 (7)} \cdot 2 + K = 3$

Étape 4.2.1.8.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{2 \cdot 7} \cdot 2 + K = 3$

Étape 4.2.1.8.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{7} + K = 3$

Étape 4.2.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{7} + K = 3$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Ajoutez $\frac{1}{7}$ aux deux côtés de l’équation.

$K = 3 + \frac{1}{7}$

Étape 4.3.2

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$K = 3 \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7}$

Étape 4.3.3

Associez $3$ et $\frac{7}{7}$ .

$K = \frac{3 \cdot 7}{7} + \frac{1}{7}$

Étape 4.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$K = \frac{3 \cdot 7 + 1}{7}$

Étape 4.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.5.1

Multipliez $3$ par $7$ .

$K = \frac{21 + 1}{7}$

Étape 4.3.5.2

Additionnez $21$ et $1$ .

$K = \frac{22}{7}$

Étape 5

Remplacez $K$ par $\frac{22}{7}$ dans $r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $\frac{22}{7}$ .

$r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + \frac{22}{7}$

Étape 5.2

Associez $\csc^{2} (7 θ)$ et $\frac{1}{14}$ .

$r = - \frac{\csc^{2} (7 θ)}{14} + \frac{22}{7}$