Calcul infinitésimal Exemples

$(y e^{x y} - 2 y^{3}) d x + (x e^{x y} - 6 x y^{2} - 2 y) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = y e^{x y} - 2 y^{3}$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y e^{x y} - 2 y^{3}]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y e^{x y} - 2 y^{3}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y e^{x y}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y e^{x y}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{3}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [y e^{x y}]$ .

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = y$ et $g (y) = e^{x y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [e^{x y}] + e^{x y} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{3}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = e^{y}$ et $g (y) = x y$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{3}]$

Étape 1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{u} \frac{d}{d y} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{3}]$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} \frac{d}{d y} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{3}]$

Étape 1.3.3

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y])) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{3}]$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} (x \cdot 1)) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{3}]$

Étape 1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} (x \cdot 1)) + e^{x y} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 y^{3}]$

Étape 1.3.6

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} x) + e^{x y} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 y^{3}]$

Étape 1.3.7

Multipliez $e^{x y}$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} x) + e^{x y} + \frac{d}{d y} [- 2 y^{3}]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [- 2 y^{3}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2 y^{3}$ par rapport à $y$ est $- 2 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} x) + e^{x y} - 2 \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} x) + e^{x y} - 2 (3 y^{2})$

Étape 1.4.3

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} x) + e^{x y} - 6 y^{2}$

Étape 1.5

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Étape 1.5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6 y^{2} + e^{x y} x y + e^{x y}$

Étape 1.5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 6 y^{2} + e^{x y} x y + e^{x y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6 y^{2} + x y e^{x y} + e^{x y}$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x e^{x y} - 6 x y^{2} - 2 y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{x y} - 6 x y^{2} - 2 y]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x e^{x y} - 6 x y^{2} - 2 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x e^{x y}] + \frac{d}{d x} [- 6 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{x y}] + \frac{d}{d x} [- 6 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x e^{x y}]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [e^{x y}] + e^{x y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x y$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{u} \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Étape 2.3.3

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} (y \frac{d}{d x} [x])) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} (y \cdot 1)) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} (y \cdot 1)) + e^{x y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Étape 2.3.6

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} y) + e^{x y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Étape 2.3.7

Multipliez $e^{x y}$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} y) + e^{x y} + \frac{d}{d x} [- 6 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x y^{2}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 6 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x y^{2}$ par rapport à $x$ est $- 6 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} y) + e^{x y} - 6 y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} y) + e^{x y} - 6 y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} y) + e^{x y} - 6 y^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Étape 2.5

Comme $- 2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} y) + e^{x y} - 6 y^{2} + 0$

Étape 2.6

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Étape 2.6.1

Additionnez $x (e^{x y} y) + e^{x y} - 6 y^{2}$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} y) + e^{x y} - 6 y^{2}$

Étape 2.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 6 y^{2} + e^{x y} x y + e^{x y}$

Étape 2.6.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 6 y^{2} + e^{x y} x y + e^{x y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 6 y^{2} + x y e^{x y} + e^{x y}$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 6 y^{2} + x y e^{x y} + e^{x y}$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 6 y^{2} + x y e^{x y} + e^{x y}$ .

$- 6 y^{2} + x y e^{x y} + e^{x y} = - 6 y^{2} + x y e^{x y} + e^{x y}$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$- 6 y^{2} + x y e^{x y} + e^{x y} = - 6 y^{2} + x y e^{x y} + e^{x y}$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y e^{x y} - 2 y^{3} d x$

Étape 5

Intégrez $M (x, y) = y e^{x y} - 2 y^{3}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int y e^{x y} d x + \int - 2 y^{3} d x$

Étape 5.2

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , placez $y$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = y \int e^{x y} d x + \int - 2 y^{3} d x$

Étape 5.3

Laissez $u = x y$ . Alors $d u = y d x$ , donc $\frac{1}{y} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.3.1

Laissez $u = x y$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.3.1.1

Différenciez $x y$ .

$\frac{d}{d x} [x y]$

Étape 5.3.1.2

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y \cdot 1$

Étape 5.3.1.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$y$

Étape 5.3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$f (x, y) = y \int e^{u} \frac{1}{y} d u + \int - 2 y^{3} d x$

Étape 5.4

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{y}$ .

$f (x, y) = y \int \frac{e^{u}}{y} d u + \int - 2 y^{3} d x$

Étape 5.5

Comme $\frac{1}{y}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{y}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = y (\frac{1}{y} \int e^{u} d u) + \int - 2 y^{3} d x$

Étape 5.6

Simplifiez

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Étape 5.6.1

Associez $\frac{1}{y}$ et $y$ .

$f (x, y) = \frac{y}{y} \int e^{u} d u + \int - 2 y^{3} d x$

Étape 5.6.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = \frac{y}{y} \int e^{u} d u + \int - 2 y^{3} d x$

Étape 5.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = 1 \int e^{u} d u + \int - 2 y^{3} d x$

Étape 5.6.3

Multipliez $\int e^{u} d u$ par $1$ .

$f (x, y) = \int e^{u} d u + \int - 2 y^{3} d x$

Étape 5.7

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$f (x, y) = e^{u} + C + \int - 2 y^{3} d x$

Étape 5.8

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = e^{u} + C - 2 y^{3} x + C$

Étape 5.9

Simplifiez

$f (x, y) = e^{u} - 2 y^{3} x + C$

Étape 5.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y$ .

$f (x, y) = e^{x y} - 2 y^{3} x + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = e^{x y} - 2 y^{3} x + g (y)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x e^{x y} - 6 x y^{2} - 2 y$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{x y} - 2 y^{3} x + g (y)] = x e^{x y} - 6 x y^{2} - 2 y$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x y} - 2 y^{3} x + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [e^{x y}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{x y}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{x y} - 6 x y^{2} - 2 y$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [e^{x y}]$ .

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Étape 8.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = e^{y}$ et $g (y) = x y$ .

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Étape 8.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{x y} - 6 x y^{2} - 2 y$

Étape 8.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{x y} - 6 x y^{2} - 2 y$

Étape 8.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y$ .

$e^{x y} \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{x y} - 6 x y^{2} - 2 y$

Étape 8.3.2

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- 2 y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{x y} - 6 x y^{2} - 2 y$

Étape 8.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{x y} (x \cdot 1) + \frac{d}{d y} [- 2 y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{x y} - 6 x y^{2} - 2 y$

Étape 8.3.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$e^{x y} x + \frac{d}{d y} [- 2 y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{x y} - 6 x y^{2} - 2 y$

Étape 8.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [- 2 y^{3} x]$ .

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Étape 8.4.1

Comme $- 2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2 y^{3} x$ par rapport à $y$ est $- 2 x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$e^{x y} x - 2 x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{x y} - 6 x y^{2} - 2 y$

Étape 8.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$e^{x y} x - 2 x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{x y} - 6 x y^{2} - 2 y$

Étape 8.4.3

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$e^{x y} x - 6 x y^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{x y} - 6 x y^{2} - 2 y$

Étape 8.5

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$e^{x y} x - 6 x y^{2} + \frac{d g}{d y} = x e^{x y} - 6 x y^{2} - 2 y$

Étape 8.6

Simplifiez

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Étape 8.6.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + e^{x y} x - 6 y^{2} x = x e^{x y} - 6 x y^{2} - 2 y$

Étape 8.6.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{d g}{d y} + e^{x y} x - 6 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} + x e^{x y} - 6 y^{2} x = x e^{x y} - 6 x y^{2} - 2 y$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Soustrayez $x e^{x y}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} - 6 y^{2} x = x e^{x y} - 6 x y^{2} - 2 y - x e^{x y}$

Étape 9.1.2

Ajoutez $6 y^{2} x$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = x e^{x y} - 6 x y^{2} - 2 y - x e^{x y} + 6 y^{2} x$

Étape 9.1.3

Associez les termes opposés dans $x e^{x y} - 6 x y^{2} - 2 y - x e^{x y} + 6 y^{2} x$ .

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Étape 9.1.3.1

Soustrayez $x e^{x y}$ de $x e^{x y}$ .

$\frac{d g}{d y} = - 6 x y^{2} - 2 y + 0 + 6 y^{2} x$

Étape 9.1.3.2

Additionnez $- 6 x y^{2} - 2 y$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 6 x y^{2} - 2 y + 6 y^{2} x$

Étape 9.1.3.3

Réorganisez les facteurs dans les termes $- 6 x y^{2}$ et $6 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = - 6 y^{2} x - 2 y + 6 y^{2} x$

Étape 9.1.3.4

Additionnez $- 6 y^{2} x$ et $6 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y + 0$

Étape 9.1.3.5

Additionnez $- 2 y$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y$

Étape 10

Déterminez la primitive de $- 2 y$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = - 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y d y$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 2 y d y$

Étape 10.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = - 2 \int y d y$

Étape 10.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Étape 10.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.5.1

Réécrivez $- 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ comme $- 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Étape 10.5.2

Simplifiez

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Étape 10.5.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{- 2}{2} y^{2} + C$

Étape 10.5.2.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 10.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2} y^{2} + C$

Étape 10.5.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.5.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} y^{2} + C$

Étape 10.5.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Étape 10.5.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$g (y) = \frac{- 1}{1} y^{2} + C$

Étape 10.5.2.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$g (y) = - y^{2} + C$

Étape 11

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = e^{x y} - 2 y^{3} x + g (y)$ .

$f (x, y) = e^{x y} - 2 y^{3} x - y^{2} + C$