Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + x y = 6 x \sqrt{y}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} + x y = 6 x y^{\frac{1}{2}}$

Étape 2

Pour résoudre l’équation différentielle, laissez $v = y^{1 - n}$ où $n$ est l’exposant de $y^{\frac{1}{2}}$ .

$v = y^{\frac{1}{2}}$

Étape 3

Résolvez l’équation pour $y$ .

$y = v^{2}$

Étape 4

Prenez la dérivée de $y$ par rapport à $x$ .

$y' = v^{2}$

Étape 5

Prenez la dérivée de $v^{2}$ par rapport à $x$ .

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Étape 5.1

Prenez la dérivée de $v^{2}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{2}]$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = v$ .

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Étape 5.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $v$ .

$y' = \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [v]$

Étape 5.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$y' = 2 u_{1} \frac{d}{d x} [v]$

Étape 5.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $v$ .

$y' = 2 v \frac{d}{d x} [v]$

Étape 5.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [v]$ comme $v'$ .

$y' = 2 v v'$

Étape 6

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $2 v v'$ et $y$ par $v^{2}$ dans l’équation d’origine $\frac{d y}{d x} + x y = 6 x y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 v v' + x v^{2} = 6 x {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 7

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 7.1

Séparez les variables.

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Étape 7.1.1

Résolvez $\frac{d v}{d x}$ .

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Étape 7.1.1.1

Simplifiez $6 x {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 7.1.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 7.1.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 v \frac{d v}{d x} + x v^{2} = 6 x v^{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 7.1.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.1.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 v \frac{d v}{d x} + x v^{2} = 6 x v^{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 7.1.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$2 v \frac{d v}{d x} + x v^{2} = 6 x v^{1}$

Étape 7.1.1.1.2

Simplifiez

$2 v \frac{d v}{d x} + x v^{2} = 6 x v$

Étape 7.1.1.2

Soustrayez $x v^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 v \frac{d v}{d x} = 6 x v - x v^{2}$

Étape 7.1.1.3

Divisez chaque terme dans $2 v \frac{d v}{d x} = 6 x v - x v^{2}$ par $2 v$ et simplifiez.

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Étape 7.1.1.3.1

Divisez chaque terme dans $2 v \frac{d v}{d x} = 6 x v - x v^{2}$ par $2 v$ .

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Étape 7.1.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.1.1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Étape 7.1.1.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Étape 7.1.1.3.2.2

Annulez le facteur commun de $v$ .

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Étape 7.1.1.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Étape 7.1.1.3.2.2.2

Divisez $\frac{d v}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Étape 7.1.1.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 7.1.1.3.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x v$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{2 (3 x v)}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Étape 7.1.1.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.1.1.3.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 v$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{2 (3 x v)}{2 (v)} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Étape 7.1.1.3.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d v}{d x} = \frac{2 (3 x v)}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Étape 7.1.1.3.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d x} = \frac{3 x v}{v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Étape 7.1.1.3.3.1.2

Annulez le facteur commun de $v$ .

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Étape 7.1.1.3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d v}{d x} = \frac{3 x v}{v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Étape 7.1.1.3.3.1.2.2

Divisez $3 x$ par $1$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Étape 7.1.1.3.3.1.3

Annulez le facteur commun à $v^{2}$ et $v$ .

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Étape 7.1.1.3.3.1.3.1

Factorisez $v$ à partir de $- x v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{v (- x v)}{2 v}$

Étape 7.1.1.3.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.1.1.3.3.1.3.2.1

Factorisez $v$ à partir de $2 v$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{v (- x v)}{v \cdot 2}$

Étape 7.1.1.3.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{v (- x v)}{v \cdot 2}$

Étape 7.1.1.3.3.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{- x v}{2}$

Étape 7.1.1.3.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d v}{d x} = 3 x - \frac{x v}{2}$

Étape 7.1.2

Factorisez.

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Étape 7.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x - \frac{x v}{2}$ .

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Étape 7.1.2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x$ .

$\frac{d v}{d x} = x \cdot 3 - \frac{x v}{2}$

Étape 7.1.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- \frac{x v}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = x \cdot 3 + x (- \frac{v}{2})$

Étape 7.1.2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 3 + x (- \frac{v}{2})$ .

$\frac{d v}{d x} = x (3 - \frac{v}{2})$

Étape 7.1.2.2

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = x (3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{v}{2})$

Étape 7.1.2.3

Associez $3$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = x (\frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{v}{2})$

Étape 7.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d v}{d x} = x \frac{3 \cdot 2 - v}{2}$

Étape 7.1.2.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{d v}{d x} = x \frac{6 - v}{2}$

Étape 7.1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{2}{6 - v}$ .

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{6 - v} (x \frac{6 - v}{2})$

Étape 7.1.4

Simplifiez

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Étape 7.1.4.1

Associez $x$ et $\frac{6 - v}{2}$ .

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{6 - v} \cdot \frac{x (6 - v)}{2}$

Étape 7.1.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{6 - v} \cdot \frac{x (6 - v)}{2}$

Étape 7.1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{6 - v} (x (6 - v))$

Étape 7.1.4.3

Annulez le facteur commun de $6 - v$ .

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Étape 7.1.4.3.1

Factorisez $6 - v$ à partir de $x (6 - v)$ .

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{6 - v} ((6 - v) x)$

Étape 7.1.4.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{6 - v} ((6 - v) x)$

Étape 7.1.4.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = x$

Étape 7.1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{2}{6 - v} d v = x d x$

Étape 7.2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 7.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{2}{6 - v} d v = \int x d x$

Étape 7.2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $v$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \frac{1}{6 - v} d v = \int x d x$

Étape 7.2.2.2

Laissez $u_{2} = 6 - v$ . Alors $d u_{2} = - d v$ , donc $- d u_{2} = d v$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 7.2.2.2.1

Laissez $u_{2} = 6 - v$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

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Étape 7.2.2.2.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 7.2.2.2.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 7.2.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2} = \int x d x$

Étape 7.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int x d x$

Étape 7.2.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int x d x$

Étape 7.2.2.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int x d x$

Étape 7.2.2.6

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$- 2 (\ln (| u_{2} |) + C_{1}) = \int x d x$

Étape 7.2.2.7

Simplifiez

$- 2 \ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int x d x$

Étape 7.2.2.8

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $6 - v$ .

$- 2 \ln (| 6 - v |) + C_{1} = \int x d x$

Étape 7.2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 \ln (| 6 - v |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 7.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- 2 \ln (| 6 - v |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 7.3

Résolvez $v$ .

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Étape 7.3.1

Divisez chaque terme dans $- 2 \ln (| 6 - v |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 7.3.1.1

Divisez chaque terme dans $- 2 \ln (| 6 - v |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 \ln (| 6 - v |)}{- 2} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Étape 7.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 7.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \ln (| 6 - v |)}{- 2} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Étape 7.3.1.2.1.2

Divisez $\ln (| 6 - v |)$ par $1$ .

$\ln (| 6 - v |) = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Étape 7.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.1.3.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\ln (| 6 - v |) = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Étape 7.3.1.3.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\ln (| 6 - v |) = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Étape 7.3.1.3.1.3

Associez.

$\ln (| 6 - v |) = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 \cdot - 2} + \frac{C}{- 2}$

Étape 7.3.1.3.1.4

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\ln (| 6 - v |) = \frac{x^{2}}{2 \cdot - 2} + \frac{C}{- 2}$

Étape 7.3.1.3.1.5

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\ln (| 6 - v |) = \frac{x^{2}}{- 4} + \frac{C}{- 2}$

Étape 7.3.1.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (| 6 - v |) = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{C}{- 2}$

Étape 7.3.1.3.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (| 6 - v |) = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}$

Étape 7.3.2

Pour résoudre $v$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| 6 - v |)} = e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}$

Étape 7.3.3

Réécrivez $\ln (| 6 - v |) = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}} = | 6 - v |$

Étape 7.3.4

Résolvez $v$ .

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Étape 7.3.4.1

Réécrivez l’équation comme $| 6 - v | = e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}$ .

$| 6 - v | = e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}$

Étape 7.3.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$6 - v = \pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}$

Étape 7.3.4.3

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$- v = \pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}} - 6$

Étape 7.3.4.4

Divisez chaque terme dans $- v = \pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}} - 6$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 7.3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $- v = \pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}} - 6$ par $- 1$ .

$\frac{- v}{- 1} = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}}{- 1} + \frac{- 6}{- 1}$

Étape 7.3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.3.4.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{v}{1} = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}}{- 1} + \frac{- 6}{- 1}$

Étape 7.3.4.4.2.2

Divisez $v$ par $1$ .

$v = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}}{- 1} + \frac{- 6}{- 1}$

Étape 7.3.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.4.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.4.4.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}}{- 1}$ .

$v = - 1 \cdot (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}) + \frac{- 6}{- 1}$

Étape 7.3.4.4.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}})$ comme $- (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}})$ .

$v = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}) + \frac{- 6}{- 1}$

Étape 7.3.4.4.3.1.3

Divisez $- 6$ par $- 1$ .

$v = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}) + 6$

Étape 7.4

Regroupez les termes constants.

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Étape 7.4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$v = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} + C}) + 6$

Étape 7.4.2

Réécrivez $e^{- \frac{x^{2}}{4} + C}$ comme $e^{- \frac{x^{2}}{4}} e^{C}$ .

$v = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4}} e^{C}) + 6$

Étape 7.4.3

Remettez dans l’ordre $e^{- \frac{x^{2}}{4}}$ et $e^{C}$ .

$v = - (\pm e^{C} e^{- \frac{x^{2}}{4}}) + 6$

Étape 7.4.4

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$v = - (C e^{- \frac{x^{2}}{4}}) + 6$

Étape 8

Remplacez $v$ par $y^{\frac{1}{2}}$ .

$y^{\frac{1}{2}} = - (C e^{- \frac{x^{2}}{4}}) + 6$