Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 5^{x} \ln (5) + \frac{1}{x^{2} + 1}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (5^{x} \ln (5) + \frac{1}{x^{2} + 1}) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 5^{x} \ln (5) + \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int 5^{x} \ln (5) + \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int 5^{x} \ln (5) d x + \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.3.2

Comme $\ln (5)$ est constant par rapport à $x$ , placez $\ln (5)$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \ln (5) \int 5^{x} d x + \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.3.3

L’intégrale de $5^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{5^{x}}{\ln (5)}$ .

$y + C_{1} = \ln (5) (\frac{5^{x}}{\ln (5)} + C_{2}) + \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.4.1

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $1$ .

$y + C_{1} = \ln (5) (\frac{5^{x}}{\ln (5)} + C_{2}) + \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.3.4.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y + C_{1} = \ln (5) (\frac{5^{x}}{\ln (5)} + C_{2}) + \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Étape 2.3.5

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\arctan (x) + C_{3}$ .

$y + C_{1} = \ln (5) (\frac{5^{x}}{\ln (5)} + C_{2}) + \arctan (x) + C_{3}$

Étape 2.3.6

Simplifiez

$y + C_{1} = 5^{x} + \arctan (x) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = 5^{x} + \arctan (x) + K$