Calcul infinitésimal Exemples

$(x^{3} y + 8 y) d x + (y + 1) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = x^{3} y + 8 y$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3} y + 8 y]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} y + 8 y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{3} y] + \frac{d}{d y} [8 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3} y] + \frac{d}{d y} [8 y]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [x^{3} y]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $x^{3}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x^{3} y$ par rapport à $y$ est $x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [8 y]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [8 y]$

Étape 1.3.3

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} + \frac{d}{d y} [8 y]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [8 y]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $8$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $8 y$ par rapport à $y$ est $8 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} + 8 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} + 8 \cdot 1$

Étape 1.4.3

Multipliez $8$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} + 8$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = y + 1$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y + 1]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0$

Étape 2.5

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $x^{3} + 8$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $0$ .

$x^{3} + 8 = 0$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$x^{3} + 8 = 0$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $0$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $x^{3} + 8$ .

$\frac{0 - (x^{3} + 8)}{M}$

Étape 4.3

Remplacez $M$ par $x^{3} y + 8 y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $M$ par $x^{3} y + 8 y$ .

$\frac{0 - (x^{3} + 8)}{x^{3} y + 8 y}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{0 - x^{3} - 1 \cdot 8}{x^{3} y + 8 y}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{0 - x^{3} - 8}{x^{3} y + 8 y}$

Étape 4.3.2.3

Soustrayez $- (- x^{3} - 8)$ de $0$ .

$\frac{- x^{3} - 8}{x^{3} y + 8 y}$

Étape 4.3.2.4

Réécrivez $- x^{3} - 8$ en forme factorisée.

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Étape 4.3.2.4.1

Réécrivez $- x^{3}$ comme ${(- x)}^{3}$ .

$\frac{{(- x)}^{3} - 8}{x^{3} y + 8 y}$

Étape 4.3.2.4.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\frac{{(- x)}^{3} - 2^{3}}{x^{3} y + 8 y}$

Étape 4.3.2.4.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = - x$ et $b = 2$ .

$\frac{(- x - 2) ({(- x)}^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{3} y + 8 y}$

Étape 4.3.2.4.4

Simplifiez

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Étape 4.3.2.4.4.1

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$\frac{(- x - 2) ({(- 1)}^{2} x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{3} y + 8 y}$

Étape 4.3.2.4.4.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{(- x - 2) (1 x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{3} y + 8 y}$

Étape 4.3.2.4.4.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{3} y + 8 y}$

Étape 4.3.2.4.4.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})}{x^{3} y + 8 y}$

Étape 4.3.2.4.4.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x^{3} y + 8 y}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.3.1

Factorisez $y$ à partir de $x^{3} y + 8 y$ .

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Étape 4.3.3.1.1

Factorisez $y$ à partir de $x^{3} y$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y x^{3} + 8 y}$

Étape 4.3.3.1.2

Factorisez $y$ à partir de $8 y$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y x^{3} + y \cdot 8}$

Étape 4.3.3.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y x^{3} + y \cdot 8$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y (x^{3} + 8)}$

Étape 4.3.3.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y (x^{3} + 2^{3})}$

Étape 4.3.3.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y ((x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2}))}$

Étape 4.3.3.4

Simplifiez

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Étape 4.3.3.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}))}$

Étape 4.3.3.4.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 4))}$

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun de $x^{2} - 2 x + 4$ .

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Étape 4.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}$

Étape 4.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- x - 2}{y (x + 2)}$

Étape 4.3.5

Annulez le facteur commun à $- x - 2$ et $x + 2$ .

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Étape 4.3.5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{- (x) - 2}{y (x + 2)}$

Étape 4.3.5.2

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$\frac{- (x) - 1 (2)}{y (x + 2)}$

Étape 4.3.5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (2)$ .

$\frac{- (x + 2)}{y (x + 2)}$

Étape 4.3.5.4

Réécrivez $- (x + 2)$ comme $- 1 (x + 2)$ .

$\frac{- 1 (x + 2)}{y (x + 2)}$

Étape 4.3.5.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (x + 2)}{y (x + 2)}$

Étape 4.3.5.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{y}$

Étape 4.3.6

Remplacez $M$ par $x^{3} y + 8 y$ .

$- \frac{1}{y}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Étape 5.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Étape 5.3

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Étape 5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1

Simplifiez $- \ln (| y |)$ en déplaçant $- 1$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Étape 5.4.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Étape 5.4.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(x^{3} y + 8 y) d x + (y + 1) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{y}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $x^{3} y + 8 y$ par $\frac{1}{y}$ .

$(x^{3} y + 8 y) \frac{1}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Étape 6.2

Multipliez $x^{3} y + 8 y$ par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{x^{3} y + 8 y}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Étape 6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.1

Factorisez $y$ à partir de $x^{3} y + 8 y$ .

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Étape 6.3.1.1

Factorisez $y$ à partir de $x^{3} y$ .

$\frac{y x^{3} + 8 y}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Étape 6.3.1.2

Factorisez $y$ à partir de $8 y$ .

$\frac{y x^{3} + y \cdot 8}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Étape 6.3.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y x^{3} + y \cdot 8$ .

$\frac{y (x^{3} + 8)}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Étape 6.3.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\frac{y (x^{3} + 2^{3})}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Étape 6.3.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{y ((x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2}))}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Étape 6.3.4

Simplifiez

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Étape 6.3.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{y ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}))}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Étape 6.3.4.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{y ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 4))}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

$\frac{y (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Étape 6.4.2

Divisez $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$ par $1$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Étape 6.5

Développez $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$(x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Étape 6.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.6.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.6.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 6.6.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(x^{1} x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Étape 6.6.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x^{1 + 2} + x (- 2 x) + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Étape 6.6.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$(x^{3} + x (- 2 x) + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Étape 6.6.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(x^{3} - 2 x \cdot x + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Étape 6.6.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.6.3.1

Déplacez $x$ .

$(x^{3} - 2 (x \cdot x) + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Étape 6.6.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(x^{3} - 2 x^{2} + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Étape 6.6.4

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$(x^{3} - 2 x^{2} + 4 \cdot x + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Étape 6.6.5

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$(x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Étape 6.6.6

Multipliez $2$ par $4$ .

$(x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 8) d x + (y + 1) d y = 0$

Étape 6.7

Associez les termes opposés dans $x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 8$ .

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Étape 6.7.1

Additionnez $- 2 x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$(x^{3} + 4 x + 0 - 4 x + 8) d x + (y + 1) d y = 0$

Étape 6.7.2

Additionnez $x^{3} + 4 x$ et $0$ .

$(x^{3} + 4 x - 4 x + 8) d x + (y + 1) d y = 0$

Étape 6.7.3

Soustrayez $4 x$ de $4 x$ .

$(x^{3} + 0 + 8) d x + (y + 1) d y = 0$

Étape 6.7.4

Additionnez $x^{3}$ et $0$ .

$(x^{3} + 8) d x + (y + 1) d y = 0$

Étape 6.8

Multipliez $y + 1$ par $\frac{1}{y}$ .

$(x^{3} + 8) d x + (y + 1) \frac{1}{y} d y = 0$

Étape 6.9

Multipliez $y + 1$ par $\frac{1}{y}$ .

$(x^{3} + 8) d x + \frac{y + 1}{y} d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{3} + 8 d x$

Étape 8

Intégrez $M (x, y) = x^{3} + 8$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int x^{3} d x + \int 8 d x$

Étape 8.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + C + \int 8 d x$

Étape 8.3

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + C + 8 x + C$

Étape 8.4

Simplifiez

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + 8 x + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + 8 x + g (y)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y + 1}{y}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{4} x^{4} + 8 x + g (y)] = \frac{y + 1}{y}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{4} x^{4} + 8 x + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y + 1}{y}$

Étape 11.3

Comme $\frac{1}{4} x^{4}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{1}{4} x^{4}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y + 1}{y}$

Étape 11.4

Comme $8 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y + 1}{y}$

Étape 11.5

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y + 1}{y}$

Étape 11.6

Associez des termes.

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Étape 11.6.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y + 1}{y}$

Étape 11.6.2

Additionnez $0$ et $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y + 1}{y}$

Étape 12

Déterminez la primitive de $\frac{y + 1}{y}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 12.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = \frac{y + 1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{y + 1}{y} d y$

Étape 12.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{y + 1}{y} d y$

Étape 12.3

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$g (y) = \int \frac{y}{y} + \frac{1}{y} d y$

Étape 12.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$g (y) = \int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y$

Étape 12.5

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 12.5.1

Annulez le facteur commun.

$g (y) = \int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y$

Étape 12.5.2

Réécrivez l’expression.

$g (y) = \int d y + \int \frac{1}{y} d y$

Étape 12.6

Appliquez la règle de la constante.

$g (y) = y + C + \int \frac{1}{y} d y$

Étape 12.7

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$g (y) = y + C + \ln (| y |) + C$

Étape 12.8

Simplifiez

$g (y) = y + \ln (| y |) + C$

Étape 13

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + 8 x + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + 8 x + y + \ln (| y |) + C$

Étape 14

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{4} + 8 x + y + \ln (| y |) + C$