Calcul infinitésimal Exemples

$y e^{y} d y = - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Étape 1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y e^{y} d y = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Étape 2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = y$ et $d v = e^{y}$ .

$y e^{y} - \int e^{y} d y = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $e^{y}$ par rapport à $y$ est $e^{y}$ .

$y e^{y} - (e^{y} + C_{1}) = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Étape 2.3

Simplifiez

$y e^{y} - e^{y} + C_{1} = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Étape 3

Intégrez le côté droit.

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Étape 3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Étape 3.2

Divisez $x^{2} + 1$ par $x$ .

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Étape 3.2.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Étape 3.2.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x$
	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

Étape 3.2.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	+	$0$

Étape 3.2.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} + 0$

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$

Étape 3.2.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

Étape 3.2.6

Extrayez le terme suivant du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	+	$1$

Étape 3.2.7

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - \int x + \frac{1}{x} d x$

Étape 3.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\int x d x + \int \frac{1}{x} d x)$

Étape 3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x)$

Étape 3.5

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3})$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3})$

Étape 3.6.2

Simplifiez

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C_{4}$

Étape 4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$e^{y} y - e^{y} = - (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C$