Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{2 \sqrt{x}}$

Étape 1

Séparez les variables.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{2 \sqrt{x}}$

Étape 1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Associez.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 y^{2}}{y^{2} (2 \sqrt{x})}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 y^{2}}{y^{2} (2 \sqrt{x})}$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Étape 1.2.3

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Étape 1.2.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{x} \sqrt{x}}$

Étape 1.2.4.2

Déplacez $\sqrt{x}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 (\sqrt{x} \sqrt{x})}$

Étape 1.2.4.3

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})}$

Étape 1.2.4.4

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})}$

Étape 1.2.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 {\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Étape 1.2.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 {\sqrt{x}}^{2}}$

Étape 1.2.4.7

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.2.4.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.2.4.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.4.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.4.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 x^{1}}$

Étape 1.2.4.7.5

Simplifiez

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 x}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Retirez $y^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Étape 2.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- 2}$ par rapport à $y$ est $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Étape 2.2.3

Réécrivez $- y^{- 1} + C_{1}$ comme $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Étape 2.3.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Étape 2.3.2.2.2

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.2.1

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Étape 2.3.2.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Étape 2.3.2.2.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Étape 2.3.2.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Étape 2.3.2.2.2.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 2.3.2.3

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.3.1

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 2.3.2.3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 2.3.2.3.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 2.3.2.3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Étape 2.3.4

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.4.1

Réécrivez $\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ comme $\frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.4.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 1 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2.3

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- \frac{1}{y} = x^{\frac{1}{2}} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y, 1, 1$

Étape 3.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y$

Étape 3.2

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{y} = x^{\frac{1}{2}} + K$ par $y$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{y} = x^{\frac{1}{2}} + K$ par $y$ .

$- \frac{1}{y} y = x^{\frac{1}{2}} y + K y$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{y}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{y} y = x^{\frac{1}{2}} y + K y$

Étape 3.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{y} y = x^{\frac{1}{2}} y + K y$

Étape 3.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = x^{\frac{1}{2}} y + K y$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x^{\frac{1}{2}} y + K y$ .

$- 1 = y x^{\frac{1}{2}} + K y$

Étape 3.3

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $y x^{\frac{1}{2}} + K y = - 1$ .

$y x^{\frac{1}{2}} + K y = - 1$

Étape 3.3.2

Factorisez $y$ à partir de $y x^{\frac{1}{2}} + K y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y x^{\frac{1}{2}}$ .

$y (x^{\frac{1}{2}}) + K y = - 1$

Étape 3.3.2.2

Factorisez $y$ à partir de $K y$ .

$y (x^{\frac{1}{2}}) + y K = - 1$

Étape 3.3.2.3

Factorisez $y$ à partir de $y (x^{\frac{1}{2}}) + y K$ .

$y (x^{\frac{1}{2}} + K) = - 1$

Étape 3.3.3

Divisez chaque terme dans $y (x^{\frac{1}{2}} + K) = - 1$ par $x^{\frac{1}{2}} + K$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1

Divisez chaque terme dans $y (x^{\frac{1}{2}} + K) = - 1$ par $x^{\frac{1}{2}} + K$ .

$\frac{y (x^{\frac{1}{2}} + K)}{x^{\frac{1}{2}} + K} = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}} + K}$

Étape 3.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.2.1

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}} + K}$

Étape 3.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + K}$