Calcul infinitésimal Exemples

$5 y^{2} + 10 x y y' = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle.

$5 y^{2} + 10 x y \frac{d y}{d x} = 0$

Étape 2

Séparez les variables.

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Étape 2.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Soustrayez $5 y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$10 x y \frac{d y}{d x} = - 5 y^{2}$

Étape 2.1.2

Divisez chaque terme dans $10 x y \frac{d y}{d x} = - 5 y^{2}$ par $10 x y$ et simplifiez.

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Étape 2.1.2.1

Divisez chaque terme dans $10 x y \frac{d y}{d x} = - 5 y^{2}$ par $10 x y$ .

$\frac{10 x y \frac{d y}{d x}}{10 x y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 2.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 x y \frac{d y}{d x}}{10 x y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

Étape 2.1.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

Étape 2.1.2.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

Étape 2.1.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

Étape 2.1.2.2.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.1.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

Étape 2.1.2.2.3.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 5$ et $10$ .

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Étape 2.1.2.3.1.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5 y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 (- y^{2})}{10 x y}$

Étape 2.1.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.3.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $10 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 (- y^{2})}{5 (2 x y)}$

Étape 2.1.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 (- y^{2})}{5 (2 x y)}$

Étape 2.1.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 2.1.2.3.2

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 2.1.2.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y)}{2 x y}$

Étape 2.1.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.3.2.2.1

Factorisez $y$ à partir de $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

Étape 2.1.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

Étape 2.1.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y}{2 x}$

Étape 2.1.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{2 x}$

Étape 2.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{y}{2 x})$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{2 x}$

Étape 2.3.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{y}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{2 x}$

Étape 2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{2 x}$

Étape 2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{2 x}$

Étape 2.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{2 x} d x$

Étape 3

Intégrez les deux côtés.

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Étape 3.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{2 x} d x$

Étape 3.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{2 x} d x$

Étape 3.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 x} d x$

Étape 3.3.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x)$

Étape 3.3.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C_{2})$

Étape 3.3.4

Simplifiez

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 3.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$

Étape 4

Résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1.1

Associez $\ln (| x |)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) = - \frac{\ln (| x |)}{2} + C$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x |)}{2} = C$

Étape 4.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.1

Simplifiez $\ln (| y |) + \frac{\ln (| x |)}{2}$ .

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Étape 4.3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1.1

Réécrivez $\frac{\ln (| x |)}{2}$ comme $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + \frac{1}{2} \ln (| x |) = C$

Étape 4.3.1.1.2

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$\ln (| y |) + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Étape 4.3.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | {| x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Étape 4.3.1.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (| y | {| x |}^{\frac{1}{2}})$ .

$\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}} | y |) = C$

Étape 4.4

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}} | y |)} = e^{C}$

Étape 4.5

Réécrivez $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}} | y |) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = {| x |}^{\frac{1}{2}} | y |$

Étape 4.6

Résolvez $y$ .

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Étape 4.6.1

Réécrivez l’équation comme ${| x |}^{\frac{1}{2}} | y | = e^{C}$ .

${| x |}^{\frac{1}{2}} | y | = e^{C}$

Étape 4.6.2

Divisez chaque terme dans ${| x |}^{\frac{1}{2}} | y | = e^{C}$ par ${| x |}^{\frac{1}{2}}$ et simplifiez.

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Étape 4.6.2.1

Divisez chaque terme dans ${| x |}^{\frac{1}{2}} | y | = e^{C}$ par ${| x |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{| x |}^{\frac{1}{2}} | y |}{{| x |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.6.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{| x |}^{\frac{1}{2}} | y |}{{| x |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.6.2.2.2

Divisez $| y |$ par $1$ .

$| y | = \frac{e^{C}}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.6.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{C}}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Regroupez les termes constants.

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Étape 5.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm \frac{C}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C \frac{1}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$