Calcul infinitésimal Exemples

$d x + e^{4 x} d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $d x$ des deux côtés de l’équation.

$e^{4 x} d y = - d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{e^{4 x}}$ .

$\frac{1}{e^{4 x}} e^{4 x} d y = \frac{1}{e^{4 x}} \cdot - 1 d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $e^{4 x}$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{e^{4 x}} e^{4 x} d y = \frac{1}{e^{4 x}} \cdot - 1 d x$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 d y = \frac{1}{e^{4 x}} \cdot - 1 d x$

Étape 3.2

Associez $\frac{1}{e^{4 x}}$ et $- 1$ .

$1 d y = \frac{- 1}{e^{4 x}} d x$

Étape 3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 d y = - \frac{1}{e^{4 x}} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int - \frac{1}{e^{4 x}} d x$

Étape 4.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{e^{4 x}} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - \int \frac{1}{e^{4 x}} d x$

Étape 4.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.2.1

Inversez l’exposant de $e^{4 x}$ et placez-le hors du dénominateur.

$y + C_{1} = - \int 1 {(e^{4 x})}^{- 1} d x$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{4 x})}^{- 1}$ .

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Étape 4.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - \int 1 e^{4 x \cdot - 1} d x$

Étape 4.3.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y + C_{1} = - \int 1 e^{- 4 x} d x$

Étape 4.3.2.2.2

Multipliez $e^{- 4 x}$ par $1$ .

$y + C_{1} = - \int e^{- 4 x} d x$

Étape 4.3.3

Laissez $u = - 4 x$ . Alors $d u = - 4 d x$ , donc $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.3.3.1

Laissez $u = - 4 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.3.3.1.1

Différenciez $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 4.3.3.1.2

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.3.3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Étape 4.3.3.1.4

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$- 4$

Étape 4.3.3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = - \int e^{u} \frac{1}{- 4} d u$

Étape 4.3.4

Simplifiez

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Étape 4.3.4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + C_{1} = - \int e^{u} (- \frac{1}{4}) d u$

Étape 4.3.4.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = - \int - \frac{e^{u}}{4} d u$

Étape 4.3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - - \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Étape 4.3.6

Simplifiez

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Étape 4.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y + C_{1} = 1 \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Étape 4.3.6.2

Multipliez $\int \frac{e^{u}}{4} d u$ par $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Étape 4.3.7

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Étape 4.3.8

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (e^{u} + C_{2})$

Étape 4.3.9

Simplifiez

$y + C_{1} = \frac{1}{4} e^{u} + C_{2}$

Étape 4.3.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 4 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{1}{4} e^{- 4 x} + K$