Calcul infinitésimal Exemples

$y \ln (x) - x \frac{d y}{d x} = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Soustrayez $y \ln (x)$ des deux côtés de l’équation.

$- x \frac{d y}{d x} = - y \ln (x)$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $- x \frac{d y}{d x} = - y \ln (x)$ par $- x$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $- x \frac{d y}{d x} = - y \ln (x)$ par $- x$ .

$\frac{- x \frac{d y}{d x}}{- x} = \frac{- y \ln (x)}{- x}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{- y \ln (x)}{- x}$

Étape 1.1.2.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{- y \ln (x)}{- x}$

Étape 1.1.2.2.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y \ln (x)}{- x}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \ln (x)}{x}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{\ln (x)}{x}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{\ln (x)}{x})$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{\ln (x)}{x})$

Étape 1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} d y = \frac{\ln (x)}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u = \ln (x)$ . Alors $d u = \frac{1}{x} d x$ , donc $x d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u = \ln (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 2.3.1.1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int u d u$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\ln (x)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln^{2} (x)$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln^{2} (x)}{2} + C$

Étape 3.2

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2} + C}$

Étape 3.3

Réécrivez $\ln (| y |) = \frac{\ln^{2} (x)}{2} + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2} + C} = | y |$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’équation comme $| y | = e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2} + C}$ .

$| y | = e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2} + C}$

Étape 3.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2} + C}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2} + C}$ comme $e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2}} e^{C}$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2}}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2}}$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2}}$