Calcul infinitésimal Exemples

$3 x (y - 2) d x + (x^{2} + 1) d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $3 x (y - 2) d x$ des deux côtés de l’équation.

$(x^{2} + 1) d y = - 3 x (y - 2) d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{(x^{2} + 1) (y - 2)}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y - 2)} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y - 2)} (- 3 x (y - 2)) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 1$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y - 2)} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y - 2)} (- 3 x (y - 2)) d x$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y - 2} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y - 2)} (- 3 x (y - 2)) d x$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y - 2} d y = - 3 \frac{1}{(x^{2} + 1) (y - 2)} (x (y - 2)) d x$

Étape 3.3

Associez $- 3$ et $\frac{1}{(x^{2} + 1) (y - 2)}$ .

$\frac{1}{y - 2} d y = \frac{- 3}{(x^{2} + 1) (y - 2)} (x (y - 2)) d x$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $y - 2$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $y - 2$ à partir de $(x^{2} + 1) (y - 2)$ .

$\frac{1}{y - 2} d y = \frac{- 3}{(y - 2) (x^{2} + 1)} (x (y - 2)) d x$

Étape 3.4.2

Factorisez $y - 2$ à partir de $x (y - 2)$ .

$\frac{1}{y - 2} d y = \frac{- 3}{(y - 2) (x^{2} + 1)} ((y - 2) x) d x$

Étape 3.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y - 2} d y = \frac{- 3}{(y - 2) (x^{2} + 1)} ((y - 2) x) d x$

Étape 3.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y - 2} d y = \frac{- 3}{x^{2} + 1} x d x$

Étape 3.5

Associez $\frac{- 3}{x^{2} + 1}$ et $x$ .

$\frac{1}{y - 2} d y = \frac{- 3 x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{y - 2} d y = - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y - 2} d y = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Laissez $u_{1} = y - 2$ . Puis $d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 4.2.1.1

Laissez $u_{1} = y - 2$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Différenciez $y - 2$ .

$\frac{d}{d y} [y - 2]$

Étape 4.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - 2$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Étape 4.2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 2]$

Étape 4.2.1.1.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 4.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 4.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y - 2$ .

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - \int \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 4.3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - (3 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

Étape 4.3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 4.3.4

Laissez $u_{2} = x^{2} + 1$ . Alors $d u_{2} = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 4.3.4.1

Laissez $u_{2} = x^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 4.3.4.1.1

Différenciez $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 4.3.4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.3.4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.3.4.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 4.3.4.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 4.3.4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 4.3.5

Simplifiez

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Étape 4.3.5.1

Multipliez $\frac{1}{u_{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Étape 4.3.5.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{2}$ .

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Étape 4.3.6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Étape 4.3.7

Simplifiez

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Étape 4.3.7.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 3$ .

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = \frac{- 3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 4.3.7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 4.3.8

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Étape 4.3.9

Simplifiez

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Étape 4.3.10

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2} + 1$ .

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y - 2 |) = - \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1.1

Associez $\ln (| x^{2} + 1 |)$ et $\frac{3}{2}$ .

$\ln (| y - 2 |) = - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |) \cdot 3}{2} + C$

Étape 5.1.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $\ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$\ln (| y - 2 |) = - \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y - 2 |) + \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Étape 5.3

Pour écrire $\ln (| y - 2 |)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y - 2 |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Étape 5.4

Simplifiez les termes.

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Étape 5.4.1

Associez $\ln (| y - 2 |)$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y - 2 |) \cdot 2}{2} + \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Étape 5.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\ln (| y - 2 |) \cdot 2 + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Étape 5.5

Déplacez $2$ à gauche de $\ln (| y - 2 |)$ .

$\frac{2 \ln (| y - 2 |) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Étape 5.6

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.6.1

Simplifiez $\frac{2 \ln (| y - 2 |) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2}$ .

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Étape 5.6.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.6.1.1.1

Simplifiez $2 \ln (| y - 2 |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{\ln ({| y - 2 |}^{2}) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Étape 5.6.1.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| y - 2 |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\frac{\ln ({(y - 2)}^{2}) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Étape 5.6.1.1.3

Simplifiez $3 \ln (| x^{2} + 1 |)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\frac{\ln ({(y - 2)}^{2}) + \ln ({| x^{2} + 1 |}^{3})}{2} = C$

Étape 5.6.1.1.4

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln ({(y - 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})}{2} = C$

Étape 5.6.1.2

Réécrivez $\frac{\ln ({(y - 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})}{2}$ comme $\frac{1}{2} \ln ({(y - 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})$ .

$\frac{1}{2} \ln ({(y - 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3}) = C$

Étape 5.6.1.3

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln ({(y - 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$\ln ({({(y - 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Étape 5.6.1.4

Appliquez la règle de produit à ${(y - 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3}$ .

$\ln ({({(y - 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Étape 5.6.1.5

Multipliez les exposants dans ${({(y - 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 5.6.1.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln ({(y - 2)}^{2 (\frac{1}{2})} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Étape 5.6.1.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.6.1.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\ln ({(y - 2)}^{2 (\frac{1}{2})} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Étape 5.6.1.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln ({(y - 2)}^{1} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Étape 5.6.1.6

Simplifiez

$\ln ((y - 2) {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Étape 5.6.1.7

Multipliez les exposants dans ${({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 5.6.1.7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln ((y - 2) {| x^{2} + 1 |}^{3 (\frac{1}{2})}) = C$

Étape 5.6.1.7.2

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$\ln ((y - 2) {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$

Étape 5.6.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$

Étape 5.7

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})} = e^{C}$

Étape 5.8

Réécrivez $\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

Étape 5.9

Résolvez $y$ .

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Étape 5.9.1

Réécrivez l’équation comme $y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C}$ .

$y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C}$

Étape 5.9.2

Ajoutez $2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ aux deux côtés de l’équation.

$y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

Étape 5.9.3

Divisez chaque terme dans $y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ par ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ et simplifiez.

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Étape 5.9.3.1

Divisez chaque terme dans $y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ par ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.9.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.9.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.9.3.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.9.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.9.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{e^{C} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{C + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$