Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = e^{2 x} \cos^{2} (y)$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (e^{2 x} \cos^{2} (y))$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $\cos^{2} (y)$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $\cos^{2} (y)$ à partir de $e^{2 x} \cos^{2} (y)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) e^{2 x})$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) e^{2 x})$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = e^{2 x}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = e^{2 x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \int e^{2 x} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ à $\sec^{2} (y)$ .

$\int \sec^{2} (y) d y = \int e^{2 x} d x$

Étape 2.2.2

Comme la dérivée de $\tan (y)$ est $\sec^{2} (y)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (y)$ est $\tan (y)$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int e^{2 x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.3.1.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 2.3.1.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 2.3.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\tan (y) + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Étape 2.3.4

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\tan (y) + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

$\tan (y) + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} + C_{2}$

Étape 2.3.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\tan (y) + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\tan (y) = \frac{1}{2} e^{2 x} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Simplifiez $\frac{1}{2} \cdot e^{2 x} + K$ .

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Étape 3.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$\tan (y) = \frac{e^{2 x}}{2} + K$

Étape 3.1.2

Remettez dans l’ordre $\frac{e^{2 x}}{2}$ et $K$ .

$\tan (y) = K + \frac{e^{2 x}}{2}$

Étape 3.2

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de la tangente.

$y = \arctan (K + \frac{e^{2 x}}{2})$