Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \cos^{2} (x)$

Étape 1

Vérifiez si le côté gauche de l’équation est le résultat de la dérivée du terme $x^{2} y$ .

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x)$

Étape 1.4

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Étape 1.5

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

Étape 1.6

Déplacez $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y$

Étape 2

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \cos^{2} (x)$

Étape 3

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \cos^{2} (x) d x$

Étape 4

Intégrez le côté gauche.

$x^{2} y = \int \cos^{2} (x) d x$

Étape 5

Intégrez le côté droit.

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Étape 5.1

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (x)$ en $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$x^{2} y = \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Étape 5.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$x^{2} y = \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Étape 5.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

Étape 5.4

Appliquez la règle de la constante.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (2 x) d x)$

Étape 5.5

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.5.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.5.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 5.5.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 5.5.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 5.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Étape 5.6

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Étape 5.7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Étape 5.8

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Étape 5.9

Simplifiez

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Étape 5.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Étape 5.11

Simplifiez

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Étape 5.11.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (2 x)$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Étape 5.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Étape 5.11.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$x^{2} y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Étape 5.11.4

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

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Étape 5.11.4.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$x^{2} y = \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Étape 5.11.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x^{2} y = \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Étape 5.12

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$ par $x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$ par $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.1

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 6.3.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $\frac{1}{2} x$ .

$y = \frac{x \frac{1}{2}}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 6.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.1.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$y = \frac{x \frac{1}{2}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 6.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x \frac{1}{2}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 6.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 6.3.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 6.3.1.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x}$ .

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 6.3.1.4

Associez $\frac{1}{4}$ et $\sin (2 x)$ .

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\frac{\sin (2 x)}{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 6.3.1.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\sin (2 x)}{4} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 6.3.1.6

Associez.

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\sin (2 x) \cdot 1}{4 x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 6.3.1.7

Multipliez $\sin (2 x)$ par $1$ .

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\sin (2 x)}{4 x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$