Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = e^{x} \sin (x) + x \cos (x)$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (e^{x} \sin (x) + x \cos (x)) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int e^{x} \sin (x) + x \cos (x) d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int e^{x} \sin (x) + x \cos (x) d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int e^{x} \sin (x) d x + \int x \cos (x) d x$

Étape 2.3.2

Remettez dans l’ordre $e^{x}$ et $\sin (x)$ .

$y + C_{1} = \int \sin (x) e^{x} d x + \int x \cos (x) d x$

Étape 2.3.3

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \sin (x)$ et $d v = e^{x}$ .

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x + \int x \cos (x) d x$

Étape 2.3.4

Remettez dans l’ordre $e^{x}$ et $\cos (x)$ .

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - \int \cos (x) e^{x} d x + \int x \cos (x) d x$

Étape 2.3.5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \cos (x)$ et $d v = e^{x}$ .

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x) + \int x \cos (x) d x$

Étape 2.3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x) + \int x \cos (x) d x$

Étape 2.3.7

Simplifiez en multipliant.

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Étape 2.3.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x) + \int x \cos (x) d x$

Étape 2.3.7.2

Multipliez $\int e^{x} (\sin (x)) d x$ par $1$ .

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x) + \int x \cos (x) d x$

Étape 2.3.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x}) - \int e^{x} (\sin (x)) d x + \int x \cos (x) d x$

Étape 2.3.8

En résolvant $\int e^{x} \sin (x) d x$ , nous trouvons que $\int e^{x} \sin (x) d x$ = $\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2} + C_{2} + \int x \cos (x) d x$

Étape 2.3.9

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \cos (x)$ .

$y + C_{1} = \frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C_{2} + x \sin (x) - \int \sin (x) d x$

Étape 2.3.10

L’intégrale de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \cos (x)$ .

$y + C_{1} = \frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C_{2} + x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{3})$

Étape 2.3.11

Simplifiez

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Étape 2.3.11.1

Simplifiez

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Étape 2.3.11.1.1

Additionnez $\frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2}$ et $x \sin (x)$ .

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Étape 2.3.11.1.1.1

Déplacez $\cos (x)$ .

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)}{2} + x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{3})$

Étape 2.3.11.1.1.2

Pour écrire $x \sin (x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)}{2} + x \sin (x) \cdot \frac{2}{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

Étape 2.3.11.1.1.3

Associez $x \sin (x)$ et $\frac{2}{2}$ .

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)}{2} + \frac{x \sin (x) \cdot 2}{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

Étape 2.3.11.1.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + x \sin (x) \cdot 2}{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

Étape 2.3.11.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x \sin (x)$ .

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

Étape 2.3.11.2

Simplifiez

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{2} + \cos (x) + C_{4}$

Étape 2.3.11.3

Simplifiez

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Étape 2.3.11.3.1

Pour écrire $\cos (x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{2} + \cos (x) \cdot \frac{2}{2} + C_{4}$

Étape 2.3.11.3.2

Associez $\cos (x)$ et $\frac{2}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \cdot 2}{2} + C_{4}$

Étape 2.3.11.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x) + \cos (x) \cdot 2}{2} + C_{4}$

Étape 2.3.11.3.4

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (x)$ .

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)}{2} + C_{4}$

Étape 2.3.11.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{1}{2} (e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)) + K$