Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + 6 y + \ln (x) = 0$

Étape 1

Soustrayez $\ln (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} + 6 y = - \ln (x)$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = 6$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int 6 d x}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{6 x + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{6 x}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{6 x}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{6 x}$ .

$e^{6 x} \frac{d y}{d x} + e^{6 x} (6 y) = e^{6 x} (- \ln (x))$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{6 x} \frac{d y}{d x} + 6 e^{6 x} y = e^{6 x} (- \ln (x))$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{6 x} \frac{d y}{d x} + 6 e^{6 x} y = - e^{6 x} \ln (x)$

Étape 3.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{6 x} \frac{d y}{d x} + 6 e^{6 x} y = - e^{6 x} \ln (x)$ .

$e^{6 x} \frac{d y}{d x} + 6 y e^{6 x} = - e^{6 x} \ln (x)$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{6 x} y] = - e^{6 x} \ln (x)$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{6 x} y] d x = \int - e^{6 x} \ln (x) d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{6 x} y = \int - e^{6 x} \ln (x) d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{6 x} y = - \int e^{6 x} \ln (x) d x$

Étape 7.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x)$ et $d v = e^{6 x}$ .

$e^{6 x} y = - (\ln (x) (\frac{1}{6} e^{6 x}) - \int \frac{1}{6} e^{6 x} \frac{1}{x} d x)$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

Associez $\frac{1}{6}$ et $e^{6 x}$ .

$e^{6 x} y = - (\ln (x) \frac{e^{6 x}}{6} - \int \frac{1}{6} e^{6 x} \frac{1}{x} d x)$

Étape 7.3.2

Associez $\ln (x)$ et $\frac{e^{6 x}}{6}$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \int \frac{1}{6} e^{6 x} \frac{1}{x} d x)$

Étape 7.3.3

Associez $\frac{1}{6}$ et $e^{6 x}$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \int \frac{e^{6 x}}{6} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Étape 7.3.4

Multipliez $\frac{e^{6 x}}{6}$ par $\frac{1}{x}$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \int \frac{e^{6 x}}{6 x} d x)$

Étape 7.4

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{6}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - (\frac{1}{6} \int \frac{e^{6 x}}{x} d x))$

Étape 7.5

Laissez $u = 6 x$ . Alors $d u = 6 d x$ , donc $\frac{1}{6} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.5.1

Laissez $u = 6 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.5.1.1

Différenciez $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 7.5.1.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Étape 7.5.1.4

Multipliez $6$ par $1$ .

$6$

Étape 7.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{e^{u}}{\frac{u}{6}} \cdot \frac{1}{6} d u)$

Étape 7.6

Simplifiez

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Étape 7.6.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{u}{6}$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int e^{u} \frac{6}{u} \frac{1}{6} d u)$

Étape 7.6.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{6}{u}$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{e^{u} \cdot 6}{u} \cdot \frac{1}{6} d u)$

Étape 7.6.3

Déplacez $6$ à gauche de $e^{u}$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{6 \cdot e^{u}}{u} \cdot \frac{1}{6} d u)$

Étape 7.6.4

Multipliez $\frac{6 e^{u}}{u}$ par $\frac{1}{6}$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{6 e^{u}}{u \cdot 6} d u)$

Étape 7.6.5

Déplacez $6$ à gauche de $u$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{6 e^{u}}{6 \cdot u} d u)$

Étape 7.6.6

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 7.6.6.1

Annulez le facteur commun.

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{6 e^{u}}{6 u} d u)$

Étape 7.6.6.2

Réécrivez l’expression.

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{e^{u}}{u} d u)$

Étape 7.7

$\int \frac{e^{u}}{u} d u$ est un entier spécial. L’intégrale est la fonction intégrale exponentielle.

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} (E i (u) + C))$

Étape 7.8

Réécrivez $- (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} (E i (u) + C))$ comme $- (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{E i (u)}{6}) + C$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{1}{6} \ln (x) e^{6 x} - \frac{E i (u)}{6}) + C$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Simplifiez

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Étape 8.1.1

Multipliez $\frac{1}{6} (\ln (x) e^{6 x})$ .

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Étape 8.1.1.1

Associez $\ln (x)$ et $\frac{1}{6}$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x)}{6} e^{6 x} - \frac{E i (u)}{6}) + C$

Étape 8.1.1.2

Associez $\frac{\ln (x)}{6}$ et $e^{6 x}$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{E i (u)}{6}) + C$

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{E i u}{6}) + C$

Étape 8.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$e^{6 x} y = - \frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - - \frac{E i u}{6} + C$

Étape 8.1.3

Multipliez $- - \frac{E i u}{6}$ .

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Étape 8.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{6 x} y = - \frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} + 1 \frac{E i u}{6} + C$

Étape 8.1.3.2

Multipliez $\frac{E i u}{6}$ par $1$ .

$e^{6 x} y = - \frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} + \frac{E i u}{6} + C$

Étape 8.1.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} + \frac{E i u}{6}$ .

$e^{6 x} y = - \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6} + \frac{E i u}{6} + C$

Étape 8.2

Divisez chaque terme dans $e^{6 x} y = - \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6} + \frac{E i u}{6} + C$ par $e^{6 x}$ et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Divisez chaque terme dans $e^{6 x} y = - \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6} + \frac{E i u}{6} + C$ par $e^{6 x}$ .

$\frac{e^{6 x} y}{e^{6 x}} = \frac{- \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6}}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{6 x}$ .

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Étape 8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{6 x} y}{e^{6 x}} = \frac{- \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6}}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Étape 8.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6}}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Étape 8.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = - \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6} \cdot \frac{1}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Étape 8.2.3.1.2

Annulez le facteur commun de $e^{6 x}$ .

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Étape 8.2.3.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6}$ dans le numérateur.

$y = \frac{- e^{6 x} \ln (x)}{6} \cdot \frac{1}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Étape 8.2.3.1.2.2

Factorisez $e^{6 x}$ à partir de $- e^{6 x} \ln (x)$ .

$y = \frac{e^{6 x} (- 1 \ln (x))}{6} \cdot \frac{1}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Étape 8.2.3.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{e^{6 x} (- 1 \ln (x))}{6} \cdot \frac{1}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Étape 8.2.3.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{- 1 \ln (x)}{6} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Étape 8.2.3.1.3

Réécrivez $\frac{- 1 \ln (x)}{6}$ comme $\frac{- 1}{6} \ln (x)$ .

$y = \frac{- 1}{6} \ln (x) + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Étape 8.2.3.1.4

Simplifiez $\frac{- 1}{6} \ln (x)$ en déplaçant $- \frac{- 1}{6}$ dans le logarithme.

$y = - \ln (x^{- \frac{- 1}{6}}) + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Étape 8.2.3.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \ln (x^{- - \frac{1}{6}}) + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Étape 8.2.3.1.6

Multipliez $- - \frac{1}{6}$ .

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Étape 8.2.3.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = - \ln (x^{1 (\frac{1}{6})}) + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Étape 8.2.3.1.6.2

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $1$ .

$y = - \ln (x^{\frac{1}{6}}) + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Étape 8.2.3.1.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = - \ln (x^{\frac{1}{6}}) + \frac{E i u}{6} \cdot \frac{1}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Étape 8.2.3.1.8

Associez.

$y = - \ln (x^{\frac{1}{6}}) + \frac{E i u \cdot 1}{6 e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Étape 8.2.3.1.9

Multipliez $E$ par $1$ .

$y = - \ln (x^{\frac{1}{6}}) + \frac{E i u}{6 e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$