Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 - y}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{2 - y}$ .

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - y} \cdot \frac{2 - y}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $2 - y$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - y} \cdot \frac{2 - y}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{2 - y} d y = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{2 - y} d y = \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u_{1} = 2 - y$ . Alors $d u_{1} = - d y$ , donc $- d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u_{1} = 2 - y$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 2.2.1.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{- 1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Étape 2.2.2

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int - \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Étape 2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 - y$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u_{2} = x + 1$ . Puis $d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u_{2} = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 2.3.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.1.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.3.1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.2.1

Retirez ${u_{2}}^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez les exposants dans ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Étape 2.3.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{- 2}$ par rapport à $u_{2}$ est $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = - {u_{2}}^{- 1} + C_{2}$

Étape 2.3.4

Réécrivez $- {u_{2}}^{- 1} + C_{2}$ comme $- \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = - \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.5

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x + 1$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = - \frac{1}{x + 1} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \ln (| 2 - y |) = - \frac{1}{x + 1} + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $- \ln (| 2 - y |) = - \frac{1}{x + 1} + C$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $- \ln (| 2 - y |) = - \frac{1}{x + 1} + C$ par $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 2 - y |)}{- 1} = \frac{- \frac{1}{x + 1}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\ln (| 2 - y |)}{1} = \frac{- \frac{1}{x + 1}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.2.2

Divisez $\ln (| 2 - y |)$ par $1$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{- \frac{1}{x + 1}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\ln (| 2 - y |) = \frac{- \frac{1}{x + 1} + C}{- 1}$

Étape 3.1.3.2

Pour écrire $C$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{- \frac{1}{x + 1} + \frac{C (x + 1)}{x + 1}}{- 1}$

Étape 3.1.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\frac{- 1 + C (x + 1)}{x + 1}}{- 1}$

Étape 3.1.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\frac{- 1 + C x + C \cdot 1}{x + 1}}{- 1}$

Étape 3.1.3.4.2

Multipliez $C$ par $1$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\frac{- 1 + C x + C}{x + 1}}{- 1}$

Étape 3.1.3.5

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1.3.5.1

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\frac{- 1 (1) + C x + C}{x + 1}}{- 1}$

Étape 3.1.3.5.2

Factorisez $- 1$ à partir de $C x$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\frac{- 1 (1) - (- C x) + C}{x + 1}}{- 1}$

Étape 3.1.3.5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (- C x)$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\frac{- 1 (1 - C x) + C}{x + 1}}{- 1}$

Étape 3.1.3.5.4

Factorisez $- 1$ à partir de $C$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\frac{- 1 (1 - C x) - 1 (- C)}{x + 1}}{- 1}$

Étape 3.1.3.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1 - C x) - 1 (- C)$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\frac{- 1 (1 - C x - C)}{x + 1}}{- 1}$

Étape 3.1.3.5.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (| 2 - y |) = \frac{- \frac{1 - C x - C}{x + 1}}{- 1}$

Étape 3.1.3.5.7

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}{1}$

Étape 3.1.3.5.8

Divisez $\frac{1 - C x - C}{x + 1}$ par $1$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{1 - C x - C}{x + 1}$

Étape 3.2

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| 2 - y |)} = e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}$

Étape 3.3

Réécrivez $\ln (| 2 - y |) = \frac{1 - C x - C}{x + 1}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}} = | 2 - y |$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’équation comme $| 2 - y | = e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}$ .

$| 2 - y | = e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}$

Étape 3.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$2 - y = \pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}$

Étape 3.4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.4.3.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- y = \pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}} - 2$

Étape 3.4.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.3.2.1

Divisez la fraction $\frac{1 - C x - C}{x + 1}$ en deux fractions.

$- y = \pm e^{\frac{1 - C x}{x + 1} + \frac{- C}{x + 1}} - 2$

Étape 3.4.3.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.3.2.2.1

Divisez la fraction $\frac{1 - C x}{x + 1}$ en deux fractions.

$- y = \pm e^{\frac{1}{x + 1} + \frac{- C x}{x + 1} + \frac{- C}{x + 1}} - 2$

Étape 3.4.3.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- y = \pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} + \frac{- C}{x + 1}} - 2$

Étape 3.4.3.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- y = \pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}} - 2$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $- y = \pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}} - 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $- y = \pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}} - 2$ par $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Étape 3.4.4.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Étape 3.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.4.3.1

Pour écrire $\frac{\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}}{- 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Étape 3.4.4.3.2

Pour écrire $\frac{- 2}{- 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 2}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.4.4.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $1$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.4.4.3.3.1

Multipliez $\frac{\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}}{- 1}$ par $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{(\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}) \cdot - 1}{- - 1} + \frac{- 2}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.4.4.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \frac{(\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 2}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.4.4.3.3.3

Multipliez $\frac{- 2}{- 1}$ par $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{(\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 2 \cdot - 1}{- - 1}$

Étape 3.4.4.3.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \frac{(\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 2 \cdot - 1}{1}$

Étape 3.4.4.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{(\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}) \cdot - 1 - 2 \cdot - 1}{1}$

Étape 3.4.4.3.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.4.3.5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{(\pm e^{\frac{1 - C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}) \cdot - 1 - 2 \cdot - 1}{1}$

Étape 3.4.4.3.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{(\pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}) \cdot - 1 - 2 \cdot - 1}{1}$

Étape 3.4.4.3.5.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $\pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot (\pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}) - 2 \cdot - 1}{1}$

Étape 3.4.4.3.5.4

Réécrivez $- 1 (\pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}})$ comme $- (\pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}})$ .

$y = \frac{- (\pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}) - 2 \cdot - 1}{1}$

Étape 3.4.4.3.5.5

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$y = \frac{- (\pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}) + 2}{1}$

Étape 3.4.4.3.6

Divisez $- (\pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}) + 2$ par $1$ .

$y = - (\pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}) + 2$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = - (\pm e^{\frac{1 + C x + C}{x + 1}}) + 2$