Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d V}{d P} = - \frac{V}{P^{2}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{V}$ .

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d P} = \frac{1}{V} (- \frac{V}{P^{2}})$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d P} = - \frac{1}{V} \cdot \frac{V}{P^{2}}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun de $V$ .

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Étape 1.2.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{V}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d P} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{V}{P^{2}}$

Étape 1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d P} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{V}{P^{2}}$

Étape 1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d P} = - \frac{1}{P^{2}}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{V} d V = - \frac{1}{P^{2}} d P$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{V} d V = \int - \frac{1}{P^{2}} d P$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{V}$ par rapport à $V$ est $\ln (| V |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} = \int - \frac{1}{P^{2}} d P$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $P$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| V |) + C_{1} = - \int \frac{1}{P^{2}} d P$

Étape 2.3.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.2.1

Retirez $P^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\ln (| V |) + C_{1} = - \int {(P^{2})}^{- 1} d P$

Étape 2.3.2.2

Multipliez les exposants dans ${(P^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| V |) + C_{1} = - \int P^{2 \cdot - 1} d P$

Étape 2.3.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\ln (| V |) + C_{1} = - \int P^{- 2} d P$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $P^{- 2}$ par rapport à $P$ est $- P^{- 1}$ .

$\ln (| V |) + C_{1} = - (- P^{- 1} + C_{2})$

Étape 2.3.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.4.1

Réécrivez $- (- P^{- 1} + C_{2})$ comme $- - \frac{1}{P} + C_{2}$ .

$\ln (| V |) + C_{1} = - - \frac{1}{P} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2

Simplifiez

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Étape 2.3.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\ln (| V |) + C_{1} = 1 \frac{1}{P} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2.2

Multipliez $\frac{1}{P}$ par $1$ .

$\ln (| V |) + C_{1} = \frac{1}{P} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| V |) = \frac{1}{P} + C$

Étape 3

Résolvez $V$ .

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Étape 3.1

Pour résoudre $V$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| V |)} = e^{\frac{1}{P} + C}$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (| V |) = \frac{1}{P} + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{P} + C} = | V |$

Étape 3.3

Résolvez $V$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $| V | = e^{\frac{1}{P} + C}$ .

$| V | = e^{\frac{1}{P} + C}$

Étape 3.3.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$V = \pm e^{\frac{1}{P} + C}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{\frac{1}{P} + C}$ comme $e^{\frac{1}{P}} e^{C}$ .

$V = \pm e^{\frac{1}{P}} e^{C}$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{\frac{1}{P}}$ et $e^{C}$ .

$V = \pm e^{C} e^{\frac{1}{P}}$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$V = C e^{\frac{1}{P}}$