Calcul infinitésimal Exemples

$y d y - (2 x y + x) d x = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de l’équation différentielle exacte.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Réécrivez.

$- (2 x y + x) d x + y d y = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = - (2 x y + x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (2 x y + x)]$

Étape 2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- (2 x y + x)$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [2 x y + x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [2 x y + x]$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x y + x$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [x])$

Étape 2.4

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x y$ par rapport à $y$ est $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x])$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x])$

Étape 2.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x + \frac{d}{d y} [x])$

Étape 2.7

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x + 0)$

Étape 2.8

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x)$

Étape 2.8.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x$

Étape 3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Étape 4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 2 x$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $0$ .

$- 2 x = 0$

Étape 4.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$- 2 x = 0$ n’est pas une identité.

Étape 5

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $0$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 5.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 2 x$ .

$\frac{0 - (- 2 x)}{M}$

Étape 5.3

Remplacez $M$ par $- (2 x y + x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Remplacez $M$ par $- (2 x y + x)$ .

$\frac{0 - (- 2 x)}{- (2 x y + x)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{0 + 2 x}{- (2 x y + x)}$

Étape 5.3.2.2

Additionnez $0$ et $2 x$ .

$\frac{2 x}{- (2 x y + x)}$

Étape 5.3.3

Factorisez $x$ à partir de $2 x y + x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x y$ .

$\frac{2 x}{- (x (2 y) + x)}$

Étape 5.3.3.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x}{- (x (2 y) + x^{1})}$

Étape 5.3.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{2 x}{- (x (2 y) + x \cdot 1)}$

Étape 5.3.3.4

Factorisez $x$ à partir de $x (2 y) + x \cdot 1$ .

$\frac{2 x}{- (x (2 y + 1))}$

$\frac{2 x}{- x (2 y + 1)}$

Étape 5.3.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{- x (2 y + 1)}$

Étape 5.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{- (2 y + 1)}$

Étape 5.3.5

Remplacez $M$ par $- (2 x y + x)$ .

$- \frac{2}{2 y + 1}$

Étape 5.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{2 y + 1} d y}$

Étape 6

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{2}{2 y + 1} d y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{2 y + 1} d y}$

Étape 6.2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{2 y + 1} d y)}$

Étape 6.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 y + 1} d y}$

Étape 6.4

Laissez $u = 2 y + 1$ . Alors $d u = 2 d y$ , donc $\frac{1}{2} d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Laissez $u = 2 y + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1.1

Différenciez $2 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 1]$

Étape 6.4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 y + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 6.4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 6.4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 6.4.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 6.4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 6.4.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 6.4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

Étape 6.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Étape 6.5.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 u} d u}$

Étape 6.6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Étape 6.7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Étape 6.7.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Étape 6.7.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u}$

Étape 6.7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u}$

Étape 6.7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$μ (x, y) = e^{\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u}$

Étape 6.7.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Étape 6.8

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Étape 6.9

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

Étape 6.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 y + 1$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| 2 y + 1 |)} + C$

Étape 6.11

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.11.1

Simplifiez $- \ln (| 2 y + 1 |)$ en déplaçant $- 1$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| 2 y + 1 |}^{- 1})} + C$

Étape 6.11.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| 2 y + 1 |}^{- 1} + C$

Étape 6.11.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| 2 y + 1 |} + C$

Étape 7

Multipliez les deux côtés de $- (2 x y + x) d x + y d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{2 y + 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Multipliez $- (2 x y + x)$ par $\frac{1}{2 y + 1}$ .

$- (2 x y + x) \frac{1}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$(- (2 x y) - x) \frac{1}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Étape 7.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(- 2 (x y) - x) \frac{1}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Étape 7.4

Multipliez $- 2 x y - x$ par $\frac{1}{2 y + 1}$ .

$\frac{- 2 x y - x}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Étape 7.5

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x y - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.1

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x y$ .

$\frac{x (- 2 y) - x}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Étape 7.5.2

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$\frac{x (- 2 y) + x \cdot - 1}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Étape 7.5.3

Factorisez $x$ à partir de $x (- 2 y) + x \cdot - 1$ .

$\frac{x (- 2 y - 1)}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Étape 7.6

Annulez le facteur commun à $- 2 y - 1$ et $2 y + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.6.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 y$ .

$\frac{x (- (2 y) - 1)}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Étape 7.6.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{x (- (2 y) - 1 (1))}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Étape 7.6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 y) - 1 (1)$ .

$\frac{x (- (2 y + 1))}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Étape 7.6.4

Réécrivez $- (2 y + 1)$ comme $- 1 (2 y + 1)$ .

$\frac{x (- 1 (2 y + 1))}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Étape 7.6.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (- 1 (2 y + 1))}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Étape 7.6.6

Divisez $x \cdot (- 1)$ par $1$ .

$x \cdot (- 1) d x + y d y = 0$

Étape 7.7

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$- 1 x d x + y d y = 0$

Étape 7.8

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$- x d x + y d y = 0$

Étape 7.9

Multipliez $y$ par $\frac{1}{2 y + 1}$ .

$- x d x + y \frac{1}{2 y + 1} d y = 0$

Étape 7.10

Associez $y$ et $\frac{1}{2 y + 1}$ .

$- x d x + \frac{y}{2 y + 1} d y = 0$

Étape 8

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - x d x$

Étape 9

Intégrez $M (x, y) = - x$ pour déterminer $f (x, y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = - \int x d x$

Étape 9.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 9.3

Réécrivez $- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ comme $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 10

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

Étape 11

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{2 y + 1}$

Étape 12

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \frac{y}{2 y + 1}$

Étape 12.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y}{2 y + 1}$

Étape 12.3

Comme $- \frac{1}{2} x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- \frac{1}{2} x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y}{2 y + 1}$

Étape 12.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 y + 1}$

Étape 12.5

Additionnez $0$ et $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 y + 1}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $\frac{y}{2 y + 1}$ afin de déterminer $g (y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 y + 1}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{y}{2 y + 1} d y$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{y}{2 y + 1} d y$

Étape 13.3

Divisez $y$ par $2 y + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.3.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 y$

$1$

$y$

$0$

Étape 13.3.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $y$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 y$ .

					$\frac{1}{2}$
	$2 y$	+	$1$		$y$	+	$0$

Étape 13.3.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$\frac{1}{2}$
$2 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$\frac{1}{2}$

Étape 13.3.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $y + \frac{1}{2}$

				$\frac{1}{2}$
$2 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$\frac{1}{2}$

Étape 13.3.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$\frac{1}{2}$
$2 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$\frac{1}{2}$
					-	$\frac{1}{2}$

Étape 13.3.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$g (y) = \int \frac{1}{2} - \frac{1}{2 (2 y + 1)} d y$

Étape 13.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$g (y) = \int \frac{1}{2} d y + \int - \frac{1}{2 (2 y + 1)} d y$

Étape 13.5

Appliquez la règle de la constante.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C + \int - \frac{1}{2 (2 y + 1)} d y$

Étape 13.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \int \frac{1}{2 (2 y + 1)} d y$

Étape 13.7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 y + 1} d y)$

Étape 13.8

Supprimez les parenthèses.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 y + 1} d y$

Étape 13.9

Laissez $u = 2 y + 1$ . Alors $d u = 2 d y$ , donc $\frac{1}{2} d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.9.1

Laissez $u = 2 y + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.9.1.1

Différenciez $2 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 1]$

Étape 13.9.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 y + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 13.9.1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.9.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 13.9.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 13.9.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 13.9.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.9.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 13.9.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 13.9.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 13.10

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.10.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Étape 13.10.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cdot u} d u$

Étape 13.10.3

Multipliez $2$ par $u$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 u} d u$

Étape 13.11

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 13.12

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.12.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 13.12.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 13.13

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C)$

Étape 13.14

Simplifiez

$g (y) = \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| u |) + C$

Étape 13.15

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 y + 1$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$

Étape 14

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$

Étape 15

Simplifiez $f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$

Étape 15.1.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $y$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{y}{2} - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$

Étape 15.1.3

Multipliez $- \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1.3.1

Remettez dans l’ordre $\ln (| 2 y + 1 |)$ et $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{y}{2} - (\frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |)) + C$

Étape 15.1.3.2

Simplifiez $\frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |)$ en déplaçant $\frac{1}{4}$ dans le logarithme.

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{y}{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) + C$

Étape 15.2

Pour écrire $- \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y}{2} - \frac{x^{2}}{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Étape 15.3

Associez $- \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2}{2} + C$

Étape 15.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2}{2} + C$

Étape 15.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.5.1

Multipliez $- \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.5.1.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - 2 \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})}{2} + C$

Étape 15.5.1.2

Simplifiez $- 2 \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})}^{2})}{2} + C$

Étape 15.5.2

Multipliez les exposants dans ${({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4} \cdot 2})}{2} + C$

Étape 15.5.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2})}{2} + C$

Étape 15.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2})}{2} + C$

Étape 15.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2} + C$