Calcul infinitésimal Exemples

$(x y + 1) d x + x (x + 4 y - 2) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = x y + 1$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y + 1]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [x y]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 1.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x (x + 4 y - 2)$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x + 4 y - 2)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x + 4 y - 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x + 4 y - 2] + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 4 y - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.3

Comme $4 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0) + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 1 + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.6.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 4 y - 2) \cdot 1$

Étape 2.3.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.3.8.1

Multipliez $x + 4 y - 2$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + x + 4 y - 2$

Étape 2.3.8.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 4 y - 2$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $x$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 x + 4 y - 2$ .

$x = 2 x + 4 y - 2$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$x = 2 x + 4 y - 2$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $x$ .

$\frac{x - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 x + 4 y - 2$ .

$\frac{x - (2 x + 4 y - 2)}{N}$

Étape 4.3

Remplacez $N$ par $x (x + 4 y - 2)$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $N$ par $x (x + 4 y - 2)$ .

$\frac{x - (2 x + 4 y - 2)}{x (x + 4 y - 2)}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - (2 x) - (4 y) - - 2}{x (x + 4 y - 2)}$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x - 2 x - (4 y) - - 2}{x (x + 4 y - 2)}$

Étape 4.3.2.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{x - 2 x - 4 y - - 2}{x (x + 4 y - 2)}$

Étape 4.3.2.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{x - 2 x - 4 y + 2}{x (x + 4 y - 2)}$

Étape 4.3.2.3

Soustrayez $2 x$ de $x$ .

$\frac{- x - 4 y + 2}{x (x + 4 y - 2)}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun à $- x - 4 y + 2$ et $x + 4 y - 2$ .

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Étape 4.3.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{- (x) - 4 y + 2}{x (x + 4 y - 2)}$

Étape 4.3.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 y$ .

$\frac{- (x) - (4 y) + 2}{x (x + 4 y - 2)}$

Étape 4.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - (4 y)$ .

$\frac{- (x + 4 y) + 2}{x (x + 4 y - 2)}$

Étape 4.3.3.4

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x + 4 y) - 1 (- 2)}{x (x + 4 y - 2)}$

Étape 4.3.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x + 4 y) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x + 4 y - 2)}{x (x + 4 y - 2)}$

Étape 4.3.3.6

Réécrivez $- (x + 4 y - 2)$ comme $- 1 (x + 4 y - 2)$ .

$\frac{- 1 (x + 4 y - 2)}{x (x + 4 y - 2)}$

Étape 4.3.3.7

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (x + 4 y - 2)}{x (x + 4 y - 2)}$

Étape 4.3.3.8

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{x}$

Étape 4.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{x}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{1}{x} d x}$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 5.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Étape 5.3

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x |)} + C$

Étape 5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1

Simplifiez $- \ln (| x |)$ en déplaçant $- 1$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 1})} + C$

Étape 5.4.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 1} + C$

Étape 5.4.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x |} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(x y + 1) d x + x (x + 4 y - 2) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{x}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $x y + 1$ par $\frac{1}{x}$ .

$(x y + 1) \frac{1}{x} d x + x (x + 4 y - 2) d y = 0$

Étape 6.2

Multipliez $x y + 1$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y + 1}{x} d x + x (x + 4 y - 2) d y = 0$

Étape 6.3

Multipliez $x (x + 4 y - 2)$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y + 1}{x} d x + x (x + 4 y - 2) \frac{1}{x} d y = 0$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y + 1}{x} d x + x (x + 4 y - 2) \frac{1}{x} d y = 0$

Étape 6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x y + 1}{x} d x + (x + 4 y - 2) d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x + 4 y - 2 d y$

Étape 8

Intégrez $N (x, y) = x + 4 y - 2$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int x d y + \int 4 y d y + \int - 2 d y$

Étape 8.2

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = x y + C + \int 4 y d y + \int - 2 d y$

Étape 8.3

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = x y + C + 4 \int y d y + \int - 2 d y$

Étape 8.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x y + C + 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - 2 d y$

Étape 8.5

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = x y + C + 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) - 2 y + C$

Étape 8.6

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = x y + C + 4 (\frac{y^{2}}{2} + C) - 2 y + C$

Étape 8.7

Simplifiez

$f (x, y) = x y + 2 y^{2} - 2 y + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = x y + 2 y^{2} - 2 y + g (x)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x y + 1}{x}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [x y + 2 y^{2} - 2 y + g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y + 2 y^{2} - 2 y + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

Étape 11.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

Étape 11.3.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$y + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

Étape 11.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 11.4.1

Comme $2 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y + 0 + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

Étape 11.4.2

Comme $- 2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y + 0 + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

Étape 11.5

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$y + 0 + 0 + \frac{d g}{d x} = \frac{x y + 1}{x}$

Étape 11.6

Simplifiez

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Étape 11.6.1

Associez des termes.

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Étape 11.6.1.1

Additionnez $y$ et $0$ .

$y + 0 + \frac{d g}{d x} = \frac{x y + 1}{x}$

Étape 11.6.1.2

Additionnez $y$ et $0$ .

$y + \frac{d g}{d x} = \frac{x y + 1}{x}$

Étape 11.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + y = \frac{x y + 1}{x}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.1.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x y + 1}{x} - y$

Étape 12.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.2.1

Divisez la fraction $\frac{x y + 1}{x}$ en deux fractions.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x y}{x} + \frac{1}{x} - y$

Étape 12.1.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 12.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x y}{x} + \frac{1}{x} - y$

Étape 12.1.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$\frac{d g}{d x} = y + \frac{1}{x} - y$

Étape 12.1.3

Associez les termes opposés dans $y + \frac{1}{x} - y$ .

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Étape 12.1.3.1

Soustrayez $y$ de $y$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x} + 0$

Étape 12.1.3.2

Additionnez $\frac{1}{x}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $\frac{1}{x}$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 13.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$g (x) = \ln (| x |) + C$

Étape 14

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = x y + 2 y^{2} - 2 y + g (x)$ .

$f (x, y) = x y + 2 y^{2} - 2 y + \ln (| x |) + C$