Calcul infinitésimal Exemples

$2 \sqrt{4902525} \frac{d c}{d t} = 2 (1755) (540) + 2 (1350) (600)$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$2 \sqrt{4902525} d c = (2 (1755) (540) + 2 (1350) (600)) d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int 2 \sqrt{4902525} d c = \int 2 (1755) (540) + 2 (1350) (600) d t$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de la constante.

$2 \sqrt{4902525} c + C_{1} = \int 2 (1755) (540) + 2 (1350) (600) d t$

Étape 2.2.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.2.2.1

Réécrivez $2 \sqrt{4902525} c + C_{1}$ comme $2 (135 \sqrt{269}) c + C_{1}$ .

$2 (135 \sqrt{269}) c + C_{1} = \int 2 (1755) (540) + 2 (1350) (600) d t$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $135$ par $2$ .

$270 \sqrt{269} c + C_{1} = \int 2 (1755) (540) + 2 (1350) (600) d t$

Étape 2.2.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$270 c \sqrt{269} + C_{1} = \int 2 (1755) (540) + 2 (1350) (600) d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $2$ par $1755$ .

$270 c \sqrt{269} + C_{1} = \int 3510 \cdot 540 + 2 (1350) (600) d t$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $3510$ par $540$ .

$270 c \sqrt{269} + C_{1} = \int 1895400 + 2 (1350) (600) d t$

Étape 2.3.1.3

Multipliez $2$ par $1350$ .

$270 c \sqrt{269} + C_{1} = \int 1895400 + 2700 \cdot 600 d t$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $2700$ par $600$ .

$270 c \sqrt{269} + C_{1} = \int 1895400 + 1620000 d t$

Étape 2.3.1.5

Additionnez $1895400$ et $1620000$ .

$270 c \sqrt{269} + C_{1} = \int 3515400 d t$

Étape 2.3.2

Appliquez la règle de la constante.

$270 c \sqrt{269} + C_{1} = 3515400 t + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$270 c \sqrt{269} = 3515400 t + K$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $270 c \sqrt{269} = 3515400 t + K$ par $270 \sqrt{269}$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $270 c \sqrt{269} = 3515400 t + K$ par $270 \sqrt{269}$ .

$\frac{270 c \sqrt{269}}{270 \sqrt{269}} = \frac{3515400 t}{270 \sqrt{269}} + \frac{K}{270 \sqrt{269}}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $270$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{270 c \sqrt{269}}{270 \sqrt{269}} = \frac{3515400 t}{270 \sqrt{269}} + \frac{K}{270 \sqrt{269}}$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{c \sqrt{269}}{\sqrt{269}} = \frac{3515400 t}{270 \sqrt{269}} + \frac{K}{270 \sqrt{269}}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun de $\sqrt{269}$ .

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{c \sqrt{269}}{\sqrt{269}} = \frac{3515400 t}{270 \sqrt{269}} + \frac{K}{270 \sqrt{269}}$

Étape 3.2.2.2

Divisez $c$ par $1$ .

$c = \frac{3515400 t}{270 \sqrt{269}} + \frac{K}{270 \sqrt{269}}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $3515400$ et $270$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Factorisez $270$ à partir de $3515400 t$ .

$c = \frac{270 (13020 t)}{270 \sqrt{269}} + \frac{K}{270 \sqrt{269}}$

Étape 3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.1.1.2.1

Factorisez $270$ à partir de $270 \sqrt{269}$ .

$c = \frac{270 (13020 t)}{270 (\sqrt{269})} + \frac{K}{270 \sqrt{269}}$

Étape 3.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$c = \frac{270 (13020 t)}{270 \sqrt{269}} + \frac{K}{270 \sqrt{269}}$

Étape 3.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$c = \frac{13020 t}{\sqrt{269}} + \frac{K}{270 \sqrt{269}}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $\frac{13020 t}{\sqrt{269}}$ par $\frac{\sqrt{269}}{\sqrt{269}}$ .

$c = \frac{13020 t}{\sqrt{269}} \cdot \frac{\sqrt{269}}{\sqrt{269}} + \frac{K}{270 \sqrt{269}}$

Étape 3.3.1.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.1.3.1

Multipliez $\frac{13020 t}{\sqrt{269}}$ par $\frac{\sqrt{269}}{\sqrt{269}}$ .

$c = \frac{13020 t \sqrt{269}}{\sqrt{269} \sqrt{269}} + \frac{K}{270 \sqrt{269}}$

Étape 3.3.1.3.2

Élevez $\sqrt{269}$ à la puissance $1$ .

$c = \frac{13020 t \sqrt{269}}{{\sqrt{269}}^{1} \sqrt{269}} + \frac{K}{270 \sqrt{269}}$

Étape 3.3.1.3.3

Élevez $\sqrt{269}$ à la puissance $1$ .

$c = \frac{13020 t \sqrt{269}}{{\sqrt{269}}^{1} {\sqrt{269}}^{1}} + \frac{K}{270 \sqrt{269}}$

Étape 3.3.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$c = \frac{13020 t \sqrt{269}}{{\sqrt{269}}^{1 + 1}} + \frac{K}{270 \sqrt{269}}$

Étape 3.3.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$c = \frac{13020 t \sqrt{269}}{{\sqrt{269}}^{2}} + \frac{K}{270 \sqrt{269}}$

Étape 3.3.1.3.6

Réécrivez ${\sqrt{269}}^{2}$ comme $269$ .

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Étape 3.3.1.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{269}$ comme $269^{\frac{1}{2}}$ .

$c = \frac{13020 t \sqrt{269}}{{(269^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{K}{270 \sqrt{269}}$

Étape 3.3.1.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$c = \frac{13020 t \sqrt{269}}{269^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{K}{270 \sqrt{269}}$

Étape 3.3.1.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$c = \frac{13020 t \sqrt{269}}{269^{\frac{2}{2}}} + \frac{K}{270 \sqrt{269}}$

Étape 3.3.1.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$c = \frac{13020 t \sqrt{269}}{269^{\frac{2}{2}}} + \frac{K}{270 \sqrt{269}}$

Étape 3.3.1.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$c = \frac{13020 t \sqrt{269}}{269^{1}} + \frac{K}{270 \sqrt{269}}$

Étape 3.3.1.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$c = \frac{13020 t \sqrt{269}}{269} + \frac{K}{270 \sqrt{269}}$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $\frac{K}{270 \sqrt{269}}$ par $\frac{\sqrt{269}}{\sqrt{269}}$ .

$c = \frac{13020 t \sqrt{269}}{269} + \frac{K}{270 \sqrt{269}} \cdot \frac{\sqrt{269}}{\sqrt{269}}$

Étape 3.3.1.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.1.5.1

Multipliez $\frac{K}{270 \sqrt{269}}$ par $\frac{\sqrt{269}}{\sqrt{269}}$ .

$c = \frac{13020 t \sqrt{269}}{269} + \frac{K \sqrt{269}}{270 \sqrt{269} \sqrt{269}}$

Étape 3.3.1.5.2

Déplacez $\sqrt{269}$ .

$c = \frac{13020 t \sqrt{269}}{269} + \frac{K \sqrt{269}}{270 (\sqrt{269} \sqrt{269})}$

Étape 3.3.1.5.3

Élevez $\sqrt{269}$ à la puissance $1$ .

$c = \frac{13020 t \sqrt{269}}{269} + \frac{K \sqrt{269}}{270 ({\sqrt{269}}^{1} \sqrt{269})}$

Étape 3.3.1.5.4

Élevez $\sqrt{269}$ à la puissance $1$ .

$c = \frac{13020 t \sqrt{269}}{269} + \frac{K \sqrt{269}}{270 ({\sqrt{269}}^{1} {\sqrt{269}}^{1})}$

Étape 3.3.1.5.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$c = \frac{13020 t \sqrt{269}}{269} + \frac{K \sqrt{269}}{270 {\sqrt{269}}^{1 + 1}}$

Étape 3.3.1.5.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$c = \frac{13020 t \sqrt{269}}{269} + \frac{K \sqrt{269}}{270 {\sqrt{269}}^{2}}$

Étape 3.3.1.5.7

Réécrivez ${\sqrt{269}}^{2}$ comme $269$ .

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Étape 3.3.1.5.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{269}$ comme $269^{\frac{1}{2}}$ .

$c = \frac{13020 t \sqrt{269}}{269} + \frac{K \sqrt{269}}{270 {(269^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.3.1.5.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$c = \frac{13020 t \sqrt{269}}{269} + \frac{K \sqrt{269}}{270 \cdot 269^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.3.1.5.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$c = \frac{13020 t \sqrt{269}}{269} + \frac{K \sqrt{269}}{270 \cdot 269^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.3.1.5.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.5.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$c = \frac{13020 t \sqrt{269}}{269} + \frac{K \sqrt{269}}{270 \cdot 269^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.3.1.5.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$c = \frac{13020 t \sqrt{269}}{269} + \frac{K \sqrt{269}}{270 \cdot 269^{1}}$

Étape 3.3.1.5.7.5

Évaluez l’exposant.

$c = \frac{13020 t \sqrt{269}}{269} + \frac{K \sqrt{269}}{270 \cdot 269}$

Étape 3.3.1.6

Multipliez $270$ par $269$ .

$c = \frac{13020 t \sqrt{269}}{269} + \frac{K \sqrt{269}}{72630}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$c = \frac{13020 t \sqrt{269}}{269} + K$