Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 2 x + 3 y - 1$

Étape 1

Soustrayez $3 y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} - 3 y = 2 x - 1$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - 3$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - 3 d x}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{- 3 x + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- 3 x}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{- 3 x}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 3 x} (- 3 y) = e^{- 3 x} (2 x) + e^{- 3 x} \cdot - 1$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{- 3 x} (2 x) + e^{- 3 x} \cdot - 1$

Étape 3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = 2 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x} \cdot - 1$

Étape 3.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = 2 e^{- 3 x} x - 1 \cdot e^{- 3 x}$

Étape 3.3.3

Réécrivez $- 1 e^{- 3 x}$ comme $- e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = 2 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x}$

Étape 3.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = 2 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 y e^{- 3 x} = 2 x e^{- 3 x} - e^{- 3 x}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] = 2 x e^{- 3 x} - e^{- 3 x}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] d x = \int 2 x e^{- 3 x} - e^{- 3 x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{- 3 x} y = \int 2 x e^{- 3 x} - e^{- 3 x} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$e^{- 3 x} y = \int 2 x e^{- 3 x} d x + \int - e^{- 3 x} d x$

Étape 7.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 3 x} y = 2 \int x e^{- 3 x} d x + \int - e^{- 3 x} d x$

Étape 7.3

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} y = 2 (x (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} d x) + \int - e^{- 3 x} d x$

Étape 7.4

Simplifiez

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Étape 7.4.1

Associez $e^{- 3 x}$ et $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 2 (x (- \frac{e^{- 3 x}}{3}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} d x) + \int - e^{- 3 x} d x$

Étape 7.4.2

Associez $x$ et $\frac{e^{- 3 x}}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} d x) + \int - e^{- 3 x} d x$

Étape 7.4.3

Associez $e^{- 3 x}$ et $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \int - \frac{e^{- 3 x}}{3} d x) + \int - e^{- 3 x} d x$

Étape 7.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - - \int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x) + \int - e^{- 3 x} d x$

Étape 7.6

Simplifiez

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Étape 7.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + 1 \int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x) + \int - e^{- 3 x} d x$

Étape 7.6.2

Multipliez $\int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x$ par $1$ .

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x) + \int - e^{- 3 x} d x$

Étape 7.7

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{- 3 x} d x) + \int - e^{- 3 x} d x$

Étape 7.8

Laissez $u_{1} = - 3 x$ . Alors $d u_{1} = - 3 d x$ , donc $- \frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 7.8.1

Laissez $u_{1} = - 3 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 7.8.1.1

Différenciez $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Étape 7.8.1.2

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Étape 7.8.1.4

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- 3$

Étape 7.8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 3} d u_{1}) + \int - e^{- 3 x} d x$

Étape 7.9

Simplifiez

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Étape 7.9.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{3}) d u_{1}) + \int - e^{- 3 x} d x$

Étape 7.9.2

Associez $e^{u_{1}}$ et $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int - \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1}) + \int - e^{- 3 x} d x$

Étape 7.10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} (- \int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1})) + \int - e^{- 3 x} d x$

Étape 7.11

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} (- (\frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1}))) + \int - e^{- 3 x} d x$

Étape 7.12

Simplifiez

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Étape 7.12.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - e^{- 3 x} d x$

Étape 7.12.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - e^{- 3 x} d x$

Étape 7.13

L’intégrale de $e^{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $e^{u_{1}}$ .

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \int - e^{- 3 x} d x$

Étape 7.14

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) - \int e^{- 3 x} d x$

Étape 7.15

Laissez $u_{2} = - 3 x$ . Alors $d u_{2} = - 3 d x$ , donc $- \frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 7.15.1

Laissez $u_{2} = - 3 x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 7.15.1.1

Différenciez $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Étape 7.15.1.2

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.15.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Étape 7.15.1.4

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- 3$

Étape 7.15.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) - \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 3} d u_{2}$

Étape 7.16

Simplifiez

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Étape 7.16.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) - \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{3}) d u_{2}$

Étape 7.16.2

Associez $e^{u_{2}}$ et $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) - \int - \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Étape 7.17

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) - - \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Étape 7.18

Simplifiez

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Étape 7.18.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + 1 \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Étape 7.18.2

Multipliez $\int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$ par $1$ .

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Étape 7.19

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 7.20

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{1}{3} (e^{u_{2}} + C)$

Étape 7.21

Simplifiez

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Étape 7.21.1

Simplifiez

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{1}{3} x e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u_{1}}) + \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

Étape 7.21.2

Simplifiez

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Étape 7.21.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x}{3} e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u_{1}}) + \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

Étape 7.21.2.2

Associez $e^{- 3 x}$ et $\frac{x}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{1}{9} e^{u_{1}}) + \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

Étape 7.21.2.3

Associez $e^{u_{1}}$ et $\frac{1}{9}$ .

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u_{1}}}{9}) + \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

Étape 7.22

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 7.22.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- 3 x$ .

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9}) + \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

Étape 7.22.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- 3 x$ .

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9}) + \frac{1}{3} e^{- 3 x} + C$

Étape 7.23

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{1}{3} e^{- 3 x} x - \frac{1}{9} e^{- 3 x}) + \frac{1}{3} e^{- 3 x} + C$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Simplifiez

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Étape 8.1.1

Associez $e^{- 3 x}$ et $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{e^{- 3 x}}{3} \cdot x - \frac{1}{9} \cdot e^{- 3 x}) + \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Étape 8.1.2

Associez $x$ et $\frac{e^{- 3 x}}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} \cdot e^{- 3 x}) + \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Étape 8.1.3

Associez $e^{- 3 x}$ et $\frac{1}{9}$ .

$e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Étape 8.2

Divisez chaque terme dans $e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$ par $e^{- 3 x}$ et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Divisez chaque terme dans $e^{- 3 x} y = 2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$ par $e^{- 3 x}$ .

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9})}{e^{- 3 x}} + \frac{\frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{- 3 x}$ .

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Étape 8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9})}{e^{- 3 x}} + \frac{\frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9})}{e^{- 3 x}} + \frac{\frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3}) + 2 (- \frac{e^{- 3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.2.2

Multipliez $2 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3})$ .

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Étape 8.2.3.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = \frac{- 2 \frac{x e^{- 3 x}}{3} + 2 (- \frac{e^{- 3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.2.2.2

Associez $- 2$ et $\frac{x e^{- 3 x}}{3}$ .

$y = \frac{\frac{- 2 (x e^{- 3 x})}{3} + 2 (- \frac{e^{- 3 x}}{9}) + \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.2.3

Multipliez $2 (- \frac{e^{- 3 x}}{9})$ .

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Étape 8.2.3.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = \frac{\frac{- 2 (x e^{- 3 x})}{3} - 2 \frac{e^{- 3 x}}{9} + \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.2.3.2

Associez $- 2$ et $\frac{e^{- 3 x}}{9}$ .

$y = \frac{\frac{- 2 (x e^{- 3 x})}{3} + \frac{- 2 e^{- 3 x}}{9} + \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.3.2.4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{- \frac{2 x e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 2 e^{- 3 x}}{9} + \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.2.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{- \frac{2 x e^{- 3 x}}{3} - \frac{2 e^{- 3 x}}{9} + \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.2.5

Associez $\frac{1}{3}$ et $e^{- 3 x}$ .

$y = \frac{- \frac{2 x e^{- 3 x}}{3} - \frac{2 e^{- 3 x}}{9} + \frac{e^{- 3 x}}{3} + C}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.3

Pour écrire $\frac{e^{- 3 x}}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{- \frac{2 x e^{- 3 x}}{3} - \frac{2 e^{- 3 x}}{9} + \frac{e^{- 3 x}}{3} \cdot \frac{3}{3} + C}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $9$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.2.3.4.1

Multipliez $\frac{e^{- 3 x}}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{- \frac{2 x e^{- 3 x}}{3} - \frac{2 e^{- 3 x}}{9} + \frac{e^{- 3 x} \cdot 3}{3 \cdot 3} + C}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.4.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$y = \frac{- \frac{2 x e^{- 3 x}}{3} - \frac{2 e^{- 3 x}}{9} + \frac{e^{- 3 x} \cdot 3}{9} + C}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- \frac{2 x e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 2 e^{- 3 x} + e^{- 3 x} \cdot 3}{9} + C}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.6

Additionnez $- 2 e^{- 3 x}$ et $e^{- 3 x} \cdot 3$ .

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Étape 8.2.3.6.1

Remettez dans l’ordre $e^{- 3 x}$ et $3$ .

$y = \frac{- \frac{2 x e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 2 e^{- 3 x} + 3 \cdot e^{- 3 x}}{9} + C}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.6.2

Additionnez $- 2 e^{- 3 x}$ et $3 \cdot e^{- 3 x}$ .

$y = \frac{- \frac{2 x e^{- 3 x}}{3} + \frac{e^{- 3 x}}{9} + C}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.3.7.1

Pour écrire $- \frac{2 x e^{- 3 x}}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{- \frac{2 x e^{- 3 x}}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{e^{- 3 x}}{9} + C}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.7.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $9$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.2.3.7.2.1

Multipliez $\frac{2 x e^{- 3 x}}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{- \frac{2 x e^{- 3 x} \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{e^{- 3 x}}{9} + C}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.7.2.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$y = \frac{- \frac{2 x e^{- 3 x} \cdot 3}{9} + \frac{e^{- 3 x}}{9} + C}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.7.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\frac{- 2 x e^{- 3 x} \cdot 3 + e^{- 3 x}}{9} + C}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.7.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.3.7.4.1

Factorisez $e^{- 3 x}$ à partir de $- 2 x e^{- 3 x} \cdot 3 + e^{- 3 x}$ .

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Étape 8.2.3.7.4.1.1

Factorisez $e^{- 3 x}$ à partir de $- 2 x e^{- 3 x} \cdot 3$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 3 x} (- 2 x \cdot 3) + e^{- 3 x}}{9} + C}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.7.4.1.2

Multipliez par $1$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 3 x} (- 2 x \cdot 3) + e^{- 3 x} \cdot 1}{9} + C}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.7.4.1.3

Factorisez $e^{- 3 x}$ à partir de $e^{- 3 x} (- 2 x \cdot 3) + e^{- 3 x} \cdot 1$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 3 x} (- 2 x \cdot 3 + 1)}{9} + C}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.7.4.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 3 x} (- 6 x + 1)}{9} + C}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.7.5

Pour écrire $C$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 3 x} (- 6 x + 1)}{9} + C \cdot \frac{9}{9}}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.7.6

Associez $C$ et $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 3 x} (- 6 x + 1)}{9} + \frac{C \cdot 9}{9}}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.7.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\frac{e^{- 3 x} (- 6 x + 1) + C \cdot 9}{9}}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.7.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.3.7.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{\frac{e^{- 3 x} (- 6 x) + e^{- 3 x} \cdot 1 + C \cdot 9}{9}}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.7.8.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{\frac{- 6 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x} \cdot 1 + C \cdot 9}{9}}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.7.8.3

Multipliez $e^{- 3 x}$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{- 6 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x} + C \cdot 9}{9}}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.7.8.4

Déplacez $9$ à gauche de $C$ .

$y = \frac{\frac{- 6 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x} + 9 C}{9}}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.8

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{- 6 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x} + 9 C}{9} \cdot \frac{1}{e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.9

Multipliez $\frac{- 6 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x} + 9 C}{9}$ par $\frac{1}{e^{- 3 x}}$ .

$y = \frac{- 6 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x} + 9 C}{9 e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- 6 e^{- 3 x} x$ .

$y = \frac{- (6 e^{- 3 x} x) + e^{- 3 x} + 9 C}{9 e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.11

Factorisez $- 1$ à partir de $e^{- 3 x}$ .

$y = \frac{- (6 e^{- 3 x} x) - 1 (- e^{- 3 x}) + 9 C}{9 e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- (6 e^{- 3 x} x) - 1 (- e^{- 3 x})$ .

$y = \frac{- (6 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x}) + 9 C}{9 e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.13

Factorisez $- 1$ à partir de $9 C$ .

$y = \frac{- (6 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x}) - (- 9 C)}{9 e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.14

Factorisez $- 1$ à partir de $- (6 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x}) - (- 9 C)$ .

$y = \frac{- (6 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x} - 9 C)}{9 e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.15

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.2.3.15.1

Réécrivez $- (6 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x} - 9 C)$ comme $- 1 (6 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x} - 9 C)$ .

$y = \frac{- 1 (6 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x} - 9 C)}{9 e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.15.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{6 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x} - 9 C}{9 e^{- 3 x}}$

Étape 8.2.3.15.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{6 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x} - 9 C}{9 e^{- 3 x}}$ .

$y = - \frac{6 x e^{- 3 x} - e^{- 3 x} - 9 C}{9 e^{- 3 x}}$